Beyond Equidistant Assumptions: An Autoregressive Ordered Stereotype Model for Ordinal Time Series

Resumen Técnico: Más allá de las suposiciones de equidistancia: Un modelo de estereotipo ordenado autorregresivo para series temporales ordinales

Planteamiento del problema
Los datos de series temporales ordinales, caracterizados por observaciones que toman valores en un conjunto finito de categorías ordenadas, surgen frecuentemente en campos como la atención médica, las ciencias ambientales y los deportes. Si bien existen diversos enfoques de modelado —incluyendo modelos de Markov, modelos de regresión y variantes discretas de ARMA—, muchos dependen de suposiciones restrictivas. Específicamente, los modelos de regresión ordinal estándar suelen asumir que la distancia entre categorías adyacentes es equidistante o que los efectos de las covariables son proporcionales en todos los umbrales de la categoría (como en el modelo de proporciones proporcionales). Los autores argumentan que estas suposiciones son frecuentemente irreales, particularmente en aplicaciones donde la interpretación de la "distancia" entre estados es significativa (por ejemplo, la transición de "despierto" a "sueño tranquilo" puede representar una magnitud de cambio diferente que las transiciones entre etapas de sueño intermedias). Las alternativas flexibles existentes, como el modelo de proporciones proporcionales parciales, a menudo incurren en una penalización sustancial en el número de parámetros. El artículo aborda la necesidad de un marco parsimonioso pero flexible que capture la dependencia serial sin imponer una equidistancia entre categorías.

Metodología
El artículo propone el Modelo de Estereotipo Ordenado Autorregresivo (AR-OSM), una extensión del Modelo de Estereotipo Ordenado (OSM) introducido originalmente por Anderson (1984) para datos transversales.

• Formulación del modelo: El AR-OSM incorpora valores rezagados de la variable de respuesta ($Y_{t-1}, \dots, Y_{t-p}$) como covariables dentro del componente sistemático de la regresión. Para una serie temporal ordinal $Y_t$ con $q$ categorías, el logaritmo de la razón de probabilidades (log-odds) de estar en la categoría $k$ frente a la categoría base (1) se modela como:
  $$\log \left( \frac{P(Y_t = k | \mathcal{F}_{t-1})}{P(Y_t = 1 | \mathcal{F}_{t-1})} \right) = \alpha_k + \phi_k \sum_{j=1}^p \beta_j Y_{t-j} + \gamma^T X_t$$
  donde $\mathcal{F}_{t-1}$ representa la historia del proceso.
• Característica clave (Parámetros de puntuación): El modelo utiliza un conjunto de parámetros de "puntuación" (score) monótonos $\{\phi_1, \dots, \phi_q\}$ (restringidos de tal forma que $0 = \phi_1 \le \dots \le \phi_q = 1$). A diferencia de los modelos estándar que asumen un espaciamiento equidistante fijo, estos parámetros permiten que los datos determinen el espaciamiento relativo entre categorías. Los coeficientes de regresión $\beta_j$ son comunes en todas las categorías, pero se escalan mediante las puntuaciones $\phi_k$ específicas de cada categoría.
• Estimación: La estimación de los parámetros se realiza mediante la Estimación de Máxima Verosimilitud (MLE). Para manejar las restricciones de monotonicidad en los parámetros de puntuación durante la optimización, los autores emplean una estrategia de reparametrización (Fernández et al., 2016) que involucra transformaciones logit e incrementos exponenciales, convirtiendo el problema restringido en uno no restringido.
• Selección de modelo y dependencia: El artículo utiliza la $\kappa$ de Cohen ordinal y su versión parcial para medir la dependencia serial y seleccionar el orden autorregresivo apropiado $p$. Esta métrica se adapta de Weiß (2020) para tener en cuenta la naturaleza ordinal de los datos, sirviendo como un análogo de la ACF y PACF en series temporales continuas.

Contribuciones clave

1. Extensión a series temporales: La contribución principal es la formalización del OSM para series temporales ordinales, creando el marco AR-OSM.
2. Relajación de la equidistancia: El modelo evita explícitamente la suposición de categorías equidistantes. En su lugar, infiere el espaciamiento latente entre estados a partir de los datos, ofreciendo una representación más realista de los procesos donde las transiciones de categoría varían en magnitud.
3. Parsimonia vs. Flexibilidad: El AR-OSM ofrece un compromiso entre el restrictivo modelo de proporciones proporcionales y otras alternativas más complejas y con mayor carga de parámetros. Captura los efectos específicos de la categoría a través de los parámetros de puntuación sin requerir un vector de coeficientes separado para cada interacción entre la covariable y la categoría.
4. Integración de covariables: A diferencia de algunos enfoques puramente markovianos para series ordinales, el AR-OSM mantiene la estructura de un modelo de regresión, lo que permite la inclusión de covariables externas (por ejemplo, frecuencia cardíaca, temperatura) junto con términos autorregresivos.

Resultados

• Estudio de simulación:
  • Desempeño del estimador: Las simulaciones en diversos tamaños de muestra ($T=100, 500, 1000$) demostraron que los estimadores son eficientes, con una varianza que disminuye a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Aunque se observó un pequeño sesgo en los parámetros de puntuación ($\phi$) para tamaños de muestra pequeños ($T=100$), este sesgo disminuyó con muestras más grandes.
  • Dependencia serial: El estudio investigó cómo el coeficiente autorregresivo ($\beta$) y los parámetros de puntuación ($\phi$) influyen en la dependencia serial. Los resultados indicaron que el signo de $\beta$ determina la dirección de la dependencia (positiva o negativa), mientras que la magnitud controla la fuerza. Se encontró que la relación entre $\beta$ y la dependencia serial (medida por la $\kappa$ de Cohen ordinal) es no lineal.
• Aplicación en el mundo real (Datos de sueño infantil):
  • El modelo se aplicó a un conjunto de datos de estados de sueño de recién nacidos (Despierto, Sueño Tranquilo, Sueño Indeterminado, Sueño Activo) registrados cada 30 segundos.
  • Selección de modelo: El análisis de la $\kappa$ de Cohen parcial sugirió un orden autorregresivo de 1 ($p=1$). Las Pruebas de Razón de Verosimilitud (LRT) confirmaron que el AR-OSM (Modelo 3) proporcionó un ajuste significativamente mejor que un modelo de logit de categorías adyacentes de proporciones proporcionales (Modelo 5) y los modelos que incluyen la frecuencia cardíaca como covariable.
  • Interpretación del espaciamiento: Los parámetros de puntuación estimados revelaron que la distancia latente entre "Despierto" y "Sueño Tranquilo" era sustancialmente mayor que las distancias entre las etapas de sueño intermedias. Este hallazgo contradice la suposición de equidistancia de los modelos estándar y respalda la plausibilidad biológica de que la transición de la vigilia al sueño es un cambio más distintivo que el movimiento entre etapas de sueño.
  • Pronóstico: En un ejercicio de pronóstico de 10 pasos hacia adelante, el AR-OSM superó al modelo de proporciones proporcionales, prediciendo el estado real con una mayor probabilidad en cada paso.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo sostiene que el AR-OSM proporciona un marco flexible y parsimonioso para modelar series temporales ordinales donde la suposición de categorías equidistantes es poco realista. Al permitir que los datos determinen el espaciamiento relativo de los estados, el modelo ofrece una representación más precisa del proceso subyacente, como lo demuestra la aplicación de los datos de sueño. Los autores afirman que el modelo captura con éxito la dependencia serial respetando la estructura ordinal de los datos.

El artículo señala modestamente que, si bien la formulación actual asume un único conjunto de parámetros de puntuación compartidos entre las covariables, trabajos futuros podrían explorar "Modelos de Estereotipo Ordenado Parciales" donde los parámetros de puntuación varíen según la covariable. Además, los autores reconocen los desafíos computacionales asociados con los parámetros que varían en el tiempo en este marco, pero identifican la extensión hacia modelos autorregresivos parciales como una vía prometedora para la investigación futura. El trabajo se presenta como un avance metodológico que llena un vacío entre los modelos proporcionales restrictivos y las alternativas excesivamente complejas.