Beyond Equidistant Assumptions: An Autoregressive Ordered Stereotype Model for Ordinal Time Series

Résumé technique : Au-delà des hypothèses d'équidistance : Un modèle de stéréotype ordonné autorégressif pour les séries temporelles ordinales

Énoncé du problème
Les données de séries temporelles ordinales, caractérisées par des observations prenant des valeurs dans un ensemble fini de catégories ordonnées, apparaissent fréquemment dans des domaines tels que la santé, les sciences environnementales et le sport. Bien que diverses approches de modélisation existent — incluant les modèles de Markov, les modèles de régression et les variantes discrètes d'ARMA — beaucoup reposent sur des hypothèses restrictives. Plus précisément, les modèles de régression ordinale standard supposent souvent que la distance entre les catégories adjacentes est équidistante ou que les effets des covariables sont proportionnels à travers tous les seuils de catégorie (comme dans le modèle de l'odds proportionnel). Les auteurs soutiennent que ces hypothèses sont fréquemment irréalistes, particulièrement dans les applications où l'interprétation de la « distance » entre les états est significative (par exemple, la transition de « éveillé » à « sommeil calme » peut représenter une magnitude de changement différente des transitions entre les stades de sommeil intermédiaires). Les alternatives flexibles existantes, telles que le modèle à odds proportionnels partiels, imposent souvent une pénalité substantielle en termes de nombre de paramètres. Le présent article répond au besoin d'un cadre à la fois parcimonieux et flexible capable de capturer la dépendance sérielle sans imposer un espacement de catégorie équidistant.

Méthodologie
L'article propose l'Autoregressive Ordered Stereotype Model (AR-OSM), une extension de l'Ordered Stereotype Model (OSM) introduit initialement par Anderson (1984) pour les données transversales.

• Formulation du modèle : L'AR-OSM incorpore des valeurs décalées de la variable réponse ($Y_{t-1}, \dots, Y_{t-p}$) en tant que covariables au sein de la composante systématique de la régression. Pour une série temporelle ordinale $Y_t$ avec $q$ catégories, le log-odds d'être dans la catégorie $k$ par rapport à la catégorie de référence (1) est modélisé comme suit :
  $$\log \left( \frac{P(Y_t = k | \mathcal{F}_{t-1})}{P(Y_t = 1 | \mathcal{F}_{t-1})} \right) = \alpha_k + \phi_k \sum_{j=1}^p \beta_j Y_{t-j} + \gamma^T X_t$$
  où $\mathcal{F}_{t-1}$ représente l'historique du processus.
• Caractéristique clé (Paramètres de score) : Le modèle utilise un ensemble de paramètres de « score » monotones $\{\phi_1, \dots, \phi_q\}$ (contraints de telle sorte que $0 = \phi_1 \le \dots \le \phi_q = 1$). Contrairement aux modèles standards qui supposent un espacement fixe et équidistant, ces paramètres permettent aux données de déterminer l'espacement relatif entre les catégories. Les coefficients de régression $\beta_j$ sont communs à toutes les catégories mais sont mis à l'échelle par les scores $\phi_k$ spécifiques à chaque catégorie.
• Estimation : L'estimation des paramètres est réalisée via l'Estimation du Maximum de Vraisemblance (MLE). Pour gérer les contraintes de monotonie sur les paramètres de score lors de l'optimisation, les auteurs emploient une stratégie de reparamétrage (Fernández et al., 2016) impliquant des transformations logit et des incréments exponentiels, convertissant le problème contraint en un problème non contraint.
• Sélection de modèle et dépendance : L'article utilise le Kappa de Cohen ordinal et sa version partielle pour mesurer la dépendance sérielle et sélectionner l'ordre autorégressif approprié $p$. Cette métrique est adaptée de Weiß (2020) pour tenir compte de la nature ordinale des données, servant d'analogue aux fonctions ACF et PACF dans les séries temporelles continues.

Principales contributions

1. Extension aux séries temporelles : La principale contribution est la formalisation de l'OSM pour les séries temporelles ordinales, créant ainsi le cadre AR-OSM.
2. Relâchement de l'équidistance : Le modèle évite explicitement l'hypothèse de catégories équidistantes. Au lieu de cela, il infère l'espacement latent entre les états à partir des données, offrant une représentation plus réaliste des processus où les transitions de catégories varient en magnitude.
3. Parcimonie vs Flexibilité : L'AR-OSM offre un compromis entre le restrictif modèle d'odds proportionnels et les alternatives plus complexes et lourdes en paramètres. Il capture les effets spécifiques aux catégories grâce aux paramètres de score sans nécessiter un vecteur de coefficients distinct pour chaque interaction covariable-catégorie.
4. Intégration de covariables : Contra-irement à certaines approches purement markoviennes pour les séries ordinales, l'AR-OSM conserve la structure d'un modèle de régression, permettant l'inclusion de covariables externes (ex: fréquence cardiaque, température) aux côtés des termes autorégressifs.

Résultats

• Étude de simulation :
  • Performance des estimateurs : Les simulations à travers différentes tailles d'échantillons ($T=100, 500, 1000$) ont démontré que les estimateurs sont efficaces, leur variance diminuant à mesure que la taille de l'échantillon augmente. Bien qu'un léger biais ait été observé dans les paramètres de score ($\phi$) pour les petits échantillons ($T=100$), ce biais diminue avec des échantillons plus larges.
  • Dépendance sérielle : L'étude a examiné comment le coefficient autorégressif ($\beta$) et les paramètres de score ($\phi$) influencent la dépendance sérielle. Les résultats indiquent que le signe de $\beta$ détermine la direction de la dépendance (positive ou négative), tandis que sa magnitude contrôle la force. La relation entre $\beta$ et la dépendance sérielle (mesurée par le Kappa de Cohen ordinal) s'est révélée non linéaire.
• Application au monde réel (Données de sommeil des nourrissons) :
  • Le modèle a été appliqué à un ensemble de données de stades de sommeil de nouveau-nés (Éveillé, Sommeil calme, Sommeil indéterminé, Sommeil actif) enregistrées toutes les 30 secondes.
  • Sélection de modèle : L'analyse du Kappa de Cohen partiel a suggéré un ordre autorégressif de 1 ($p=1$). Les tests de rapport de vraisemblance (LRT) ont confirmé que l'AR-OSM (Modèle 3) offrait un ajustement significativement meilleur que le modèle de logit à catégories adjacentes à odds proportionnels (Modèle 5) et les modèles incluant la fréquence cardiaque comme covariable.
  • Interprétation de l'espacement : Les paramètres de score estimés ont révélé que la distance latente entre « Éveillé » et « Sommeil calme » était substantiellement plus grande que les distances entre les stades de sommeil intermédiaires. Cette conclusion contredit l'hypothèse d'équidistance des modèles standards et soutient la plausibilité biologique selon laquelle la transition de l'éveil vers le sommeil est un changement plus distinct que le passage entre les stades de sommeil.
  • Prévision : Dans un exercice de prévision à 10 étapes de prévision, l'AR-OSM a surpassé le modèle d'odds proportionnels, prédisant l'état réel avec une probabilité plus élevée à chaque étape.

Signification et affirmations
L'article affirme que l'AR-OSM fournit un cadre flexible et parcimonieux pour modéliser les séries temporelles ordinales où l'hypothèse de catégories équidistantes est irréaliste. En permettant aux données de déterminer l'espacement relatif des états, le modèle offre une représentation plus précise du processus sous-jacent, comme en témoigne l'application aux données de sommeil. Les auteurs affirment que le modèle parvient à capturer la dépendance sérielle tout en respectant la structure ordinale des données.

L'article note modestement que, bien que la formulation actuelle suppose un ensemble unique de paramètres de score partagés entre les covariables, les travaux futurs pourraient explorer des « Modèles de stéréotype ordonné partiels » où les paramètres de score varient selon la covariable. De plus, les auteurs reconnaissent les défis computationnels associés aux paramètres variant dans le temps dans ce cadre, mais identifient l'extension vers des modèles partiels autorégressifs comme une voie prometteuse pour la recherche future. Le travail est présenté comme une avancée méthodologique comblant l'écart entre les modèles proportionnels restrictifs et les alternatives trop complexes.