Foliated and Mather-Jacobian discrepancies via tangential arcs

Resumen Técnico: Discrepancias Foliadas y Mather–Jacobian mediante Arcos Tangenciales

Planteamiento del Problema
Este artículo aborda la computación de las discrepancias foliadas para foliaciones de corango uno en tresobres, específicamente dentro del contexto del Programa de Modelos Mínimos (MMP) foliado. Si bien la relación entre las discrepancias logarítmicas y los codimensiones de los cilindros divisoriales en los espacios de arcos está bien establecida para variedades singulares (vía el teorema de Ein–Mustaţ˘a–Yasuda) y se ha extendido a casos que no son intersecciones locales completas mediante la teoría de Mather–Jacobian (Ishii, Ein–Ishii, de Fernex–Docampo), un análogo "tangencial" correspondiente para las foliaciones ha estado ausente.

La dificultad central radica en la naturaleza de las singularidades foliadas. A diferencia de las singularidades ordinarias, las discrepancias foliadas dependen de la tangencia de los arcos a la foliación. El artículo se centra en foliaciones logarítmicas simples de corango uno en tresobres con respecto a un divisor de separatriz normal cruzado invariante fijo. El desafío consiste en establecer una fórmula que relacione la codimensión de los cilindros de arcos tangenciales con las discrepancias foliadas, particularmente en presencia de singularidades logarítmicas no resonantes donde los arcos están confinados a los divisores invariantes.

Metodología
El artículo desarrolla un "enfoque de espacio de arcos tangenciales" que tiende un puente entre la geometría biracional y las familias de curvas formales. La metodología progresa a través de varias etapas clave:

1. Entorno Adaptado Logarítmico Simple: El análisis se lleva a cabo dentro de una clase específica de modelos derivados del teorema de reducción de Cano. Estos son modelos "logarítmicos simples adaptados" donde la foliación está generada localmente por una 1-forma logarítmica con residuos no resonantes positivos. Este entorno asegura que la foliación admita una resolución a singularidades simples mediante extracciones (blow-ups) centradas en el lugar singular, proporcionando modelos formales locales estables para la computación.

2. Confinamiento de Arcos y Representabilidad: Un resultado técnico central (Teorema 4.1) demuestra que, en el caso logarítmico no resonante, los arcos formales tangenciales reducidos centrados en el locus tangencial prescrito están estrictamente confinados al divisor normal cruzado invariante $D_{inv}$. En consecuencia, el functor de arcos tangenciales reducidos es isomorfo al functor de arcos reducido del divisor invariante. Esto reduce el problema de computar las discrepancias tangenciales a computar las discrepancias ordinarias en el divisor invariante.

3. Sistema de Rama–Conductor: Para manejar la geometría del divisor invariante (que puede tener cruces normales), el artículo construye un "sistema de separatriz–conductor normalizado". Esto implica:

   • Normalizar las ramas irreducibles invariantes ($S^\nu_\alpha$).
   • Normalizar las curvas de intersección por pares, denominadas conductores ($C^\nu_{\alpha\beta}$).
   • Definir un espacio de separatriz seminormal $S^{sn}_W$ mediante un ecualizador de las hojas de estructura de las ramas y los conductores.
     Este sistema permite que el sector tangencial sea representado por los espacios de arcos ordinarios en las ramas y conductores normalizados.

4. Adjunción Foliada: El artículo utiliza la adjunción foliada (Cascini–Spicer, Spicer–Svaldi) para transferir el cálculo de la discrepancia desde el tresobre hacia las ramas y conductores normalizados. Esto establece "fronteras de rama" ($\Theta$) en las superficies normalizadas y "fronteras de conductor" en las curvas, asegurando la compatibilidad crepante bajo extracciones adaptadas.

5. Refinamiento Mather–Jacobian: Para los estratos de separatriz singulares en la variedad base $X$, el artículo introduce un refinamiento Mather–Jacobian. Esto implica definir un sistema de separatriz de imagen canónica en $X$ y computar las discrepancias relativas a este sistema de imagen algebraica fija, utilizando el producto formal de ideales para codificar las fronteras. Esto distingue las separatrices formales intrínsecas del sistema de imagen algebraica utilizado para el refinamiento.

Contribuciones Clave y Resultados

• Fórmula de Ein–Mustaţ˘a–Yasuda Tangencial: El artículo prueba una fórmula de codimensión (Teorema 1.4, Corolario 1.4) que identifica la codimensión logarítmica de los cilindros divisoriales toroidales tangenciales adaptados con las correspondientes discrepancias tangenciales:
  $$\text{lcodim}^{\text{tan}}(N^{\text{tan}}_q(E)) = q \cdot a^{\text{tan}}(E; X, \mathcal{F}, \Delta)$$
  Esta fórmula depende de la reducción del sector tangencial a los espacios de arcos ordinarios en el sistema de rama–conductor.

• Inversión de la Adjunción Tangencial: Se establece una forma toroidal de la inversión de la adjunción para el caso tangencial (Corolario 13.1). Establece que un par foliado es log canónico tangencialmente toroidal a lo largo de un conjunto tangente cerrado $Y$ si y solo si cada par de adjunción asociado en las ramas y conductores normalizados es log canónico a lo largo de la imagen inversa de $Y$.

• Caracterización de los Loci Singulares: El artículo proporciona una descripción de rama–conductor de los loci tangenciales no log-canónicos (no-lc) y no kawamata-log-terminal (no-klt) (Corolario 13.3). Estos loci se detectan como la unión de las imágenes de los correspondientes loci singulares en las ramas y conductores normalizados.

• Semicontinuidad Inferior: Se demuestra que la mínima discrepancia logarítmica mínima tangencial toroidal adaptada ($tmld_{tor}$) es inferiormente semicontinua en el centro tangencial adaptado (Corolario 13.5). Esto se deriva de la semicontinuidad inferior de las mínimas discrepancias logarítmicas ordinarias en las ramas normalizadas (que son superficies o curvas) y de la finitud del sistema de rama–conductor.

• Refinamiento Mather–Jacobian: El artículo define una discrepancia tangencial Mather–Jacobian ($a^{\text{tan}}_{MJ}$) relativa al sistema de separatriz de imagen canónica en $X$ (Definición 15.4, Teorema 15.7). Prueba que este refinamiento detecta defectos de singularidad de los estratos de separatriz que son invisibles para la discrepancia tangencial toroidal ordinaria, particularmente cuando los estratos no son intersecciones locales completas.

• Criterio de Cilindro: Se proporciona un criterio para la log canonicidad tangencial en términos de las no negatividades de las codimensiones logarítmicas de los cilindros tangenciales (Corolario 13.6).

Significancia y Pretensiones
El artículo pretende proporcionar un marco riguroso para computar las discrepancias foliadas utilizando espacios de arcos, diseñado específicamente para la naturaleza "tangencial" de las singularidades foliadas. Su significancia radica en:

1. Unificación de Perspectivas: Combina la visión infinitesimal de los esquemas de jets de Carter (tangencia fuerte, separatrices totales) con la visión biracional del MMP foliado (adjunción, inversión de la adjunción).
2. Reducción a la Teoría Ordinaria: Al probar que los arcos tangenciales reducidos están confinados al divisor invariante en el caso no resonante, el artículo reduce los complejos cálculos de discrepancia foliada a computaciones de espacios de arcos ordinarios en el sistema de rama–conductor.
3. Refinamiento para Singularidades: El refinamiento Mather–Jacobian ofrece una herramienta más precisa para analizar singularidades donde los estratos de separatriz no son suaves o no son intersecciones locales completas, extendiendo la aplicabilidad de la teoría de la discrepancia más allá del rango de intersección local completa.
4. Independencia del Modelo: Se muestra que los resultados son independientes de la elección del modelo toroidal adaptado dentro de la categoría fija, basándose en la functorialidad del sistema de rama–conductor bajo extracciones adaptadas.

Los autores señalan explícitamente que la condición de no resonancia es esencial para el argumento de confinamiento de arcos y que los resultados se aplican al sector "logarítmico simple adaptado", el cual sirve como una suposición de simplicidad en el MMP foliado en lugar de una mera suposición de log canonicidad. La teoría no pretende cubrir todas las singularidades foliadas (por ejemplo, casos resonantes o aquellos que requieren resoluciones no toroidales), sino que proporciona un cálculo completo y efectivo para la clase especificada de modelos.