Foliated and Mather-Jacobian discrepancies via tangential arcs

Resumo Técnico: Discrepâncias Foliadas e de Mather–Jacobian via Arcos Tangenciais

Enunciado do Problema
Este artigo aborda o cálculo de discrepâncias foliadas para foliações de corrank um em trêsvariedades, especificamente no contexto do Programa de Modelos Mínimos (MMP) foliado. Embora a relação entre discrepâncias logarítmicas e os codimensões de cilindros divisoriais em espaços de arcos esteja bem estabelecida para variedades singulares (via o teorema de Ein–Mustaţ˘a–Yasuda) e estendida para casos que não são interseções completas locais via teoria de Mather–Jacobian (Ishii, Ein–Ishii, de Fernex–Docampo), um análogo "tangencial" correspondente para foliações era inexistente.

A dificuldade central reside na natureza das singularidades foliadas. Diferente das singularidades ordinárias, as discrepâncias foliadas dependem da tangência dos arcos à foliação. O artigo foca em foliações logarítmicas simples de corrank um em trêsvariedades relativas a um divisor de separatriz de cruzamento normal invariante fixo. O desafio é estabelecer uma fórmula que relacione a codimensão de cilindros de arcos tangenciais com discrepâncias foliadas, particularmente na presença de singularidades logarítmicas não ressonantes onde os arcos são confinados a divisores invariantes.

Metodologia
O artigo desenvolve uma "abordagem de espaço de arcos tangenciais" que une geometria biracional e famílias de curvas formais. A metodologia procede através de etapas principais:

1. Configuração Adaptada Logarítmica Simples: A análise é conduzida dentro de uma classe específica de modelos derivados do teorema de redução de Cano. Estes são modelos "logarítmicos simples adaptados" onde a foliação é localmente gerada por uma 1-forma logarítmica com resíduos não ressonantes positivos. Esta configuração garante que a foliação admita uma resolução para singularidades simples via blow-ups centrados no locus singular, fornecendo modelos formais locais estáveis para o cálculo.

2. Confinamento de Arcos e Representabilidade: Um resultado técnico central (Teorema 4.1) demonstra que, no caso logarítmico não ressonante, arcos formais tangenciais reduzidos centrados no locus tangencial prescrito são estritamente confinados ao divisor de cruzamento normal invariante $D_{inv}$. Consequentemente, o funtor de arcos tangenciais reduzido é isomorfo ao funtor de arcos reduzido do divisor invariante. Isto reduz o problema de calcular discrepâncias tangenciais ao cálculo de discrepâncias ordinárias no divisor invariante.

3. Sistema de Ramo–Condutor: Para lidar com a geometria do divisor invariante (que pode ter cruzamentos normais), o artigo constrói um "sistema de separatriz–condutor normalizado". Isto envolve:

   • Normalizar os ramos invariantes irredutíveis ($S^\nu_\alpha$).
   • Normalizar as curvas de interseção par a par, denominadas condutores ($C^\nu_{\alpha\beta}$).
   • Definir um espaço de separatriz seminormal $S^{sn}_W$ via um equalizador das cascas de estrutura dos ramos e condutores.
     Este sistema permite que o setor tangencial seja representado por espaços de arcos ordinários nos ramos e condutores normalizados.

4. Adjunção Foliada: O artigo utiliza a adjunção foliada (Cascini–Spicer, Spicer–Svaldi) para transferir o cálculo de discrepância da trêsvariedade para os ramos e condutores normalizados. Isto estabelece "fronteiras de ramos" ($\Theta$) nas superfícies normalizadas e "fronteiras de condutor" nas curvas, garantindo compatibilidade crepante sob blow-ups adaptados.

5. Refinamento Mather–Jacobian: Para estratos de separatriz singulares na variedade base $X$, o artigo introduz um refinamento Mather–Jacobian. Isto envolve definir um sistema de separatriz de imagem canônica em $X$ e calcular as discrepâncias relativas a este sistema de imagem algébrica fixa, usando o produto formal de ideais para codificar fronteiras. Isto distingue as separatrizes formais intrínsecas do sistema de imagem algébrica usado para o refinamento.

Contribuições Principais e Resultados

• Fórmula de Ein–Mustaţ˘a–Yasuda Tangencial: O artigo prova uma fórmula de codimensão (Teorema 1.4, Corolário 1.4) identificando a codimensão logarítmica de cilindros divisoriais toroidais tangenciais adaptados com as respectivas discrepâncias tangenciais:
  $$\text{lcodim}^{\text{tan}}(N^{\text{tan}}_q(E)) = q \cdot a^{\text{tan}}(E; X, \mathcal{F}, \Delta)$$
  Esta fórmula depende da redução do setor tangencial para espaços de arcos ordinários no sistema de ramo–condutor.

• Inversão de Adjunção Tangencial: Uma forma toroidal de inversão de adjunção para o caso tangencial é estabelecida (Corolário 13.1). Ela afirma que um par foliado é log canônico tangencialmente toroidal ao longo de um conjunto tangente fechado $Y$ se, e somente se, cada par de adjunção associado nos ramos e condutores normalizados for log canônico ao longo da imagem inversa de $Y$.

• Caracterização de Loci Singulares: O artigo fornece uma descrição ramo–condutor dos loci tangenciais não-log-canônicos (não-lc) e não-kawamata-log-terminal (não-klt) (Corolário 13.3). Estes loci são detectados como a união das imagens dos correspondentes loci singulares nos ramos e condutores normalizados.

• Semicontinuidade Inferior: A discrepância mínima logarítmica tangencial toroidal adaptada ($tmld_{tor}$) é provada como sendo semicontínua inferiormente no centro tangencial adaptado (Corolário 13.5). Isto é derivado da semicontinuidade inferior das discrepâncias mínimas logarítmicas ordinárias nos ramos normalizados (que são superfícies ou curvas) e da finitude do sistema ramo–condutor.

• Refinamento Mather–Jacobian: O artigo define uma discrepância Mather–Jacobian tangencial ($a^{\text{tan}}_{MJ}$) relativa ao sistema de separatriz de imagem canônica em $X$ (Definição 15.4, Teorema 15.7). Ele prova que este refinamento detecta defeitos de singularidade dos estratos de separatriz que são invisíveis à discrepância tangencial toroidal ordinária, particularmente quando os estratos não são interseções completas locais.

• Critério de Cilindro: Um critério para a log canonicidade tangencial é dado em termos das codimensões logarítmicas não-negativas de cilindros tangenciais (Corolário 13.6).

Significância e Alegações
O artigo alega fornecer um arcabouço rigoroso para o cálculo de discrepâncias foliadas usando espaços de arcos, especificamente adaptado para a natureza "tangencial" das singularidades foliadas. Sua significância reside em:

1. Unificação de Perspectivas: Combina a visão infinitesimal dos esquemas de jato de Carter (tangência forte, separatrizes totais) com a visão biracional do MMP foliado (adjunção, inversão de adjunção).
2. Redução à Teoria Ordinária: Ao provar que os arcos tangenciais reduzidos são confinados ao divisor invariante no caso não ressonante, o artigo reduz cálculos complexos de discrepância foliada para cálculos de arcos ordinários nos ramos e condutores normalizados.
3. Refinamento para Singularidades: O refinamento Mather–Jacobian oferece uma ferramenta mais precisa para analisar singularidades onde os estratos de separatriz não são suaves ou interseções completas locais, estendendo a aplicabilidade da teoria de discrepância além do alcance de interseções completas locais.
4. Independência de Modelo: Os resultados mostram-se independentes da escolha do modelo toroidal adaptado dentro da categoria fixa, baseando-se na funtorialidade do sistema ramo–condutor sob blow-ups adaptados.

Os autores explicitamente observam que a condição de não ressonância é essencial para o argumento de confinamento de arcos e que os resultados se aplicam ao setor "logarítmico simples adaptado", que serve como uma suposição de simplicidade no MMP foliado, em vez de uma mera suposição de log canonicidade. A teoria não pretende cobrir todas as singularidades foliadas (por exemplo, casos ressonantes ou que exijam resoluções não toroidais), mas fornece um cálculo completo e efetivo para a classe especificada de modelos.