Thue equations that simultaneously fail the Hasse principle

Resumen Técnico: Ecuaciones de Thue que Fallan Simultáneamente el Principio de Hasse

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el principio de Hasse integral para ecuaciones de Thue de la forma $F(x, y) = h$, donde $F$ es una forma binaria irreducible con coeficientes enteros de grado $n \geq 3$, y $h$ es un entero positivo. Si bien el teorema de Thue garantiza un número finito de soluciones enteras para $|F(x, y)| \leq m$, el principio de Hasse integral postula que si una ecuación tiene soluciones en los enteros $p$-ádicos $\mathbb{Z}_p$ para todos los primos $p$ (solubilidad local), debería tener una solución en los enteros $\mathbb{Z}$ (solubilidad global).

Trabajos previos de Akhtari y Bhargava demostraron que una proporción positiva de las ecuaciones de Thue $F(x, y) = m$ fallan este principio. El problema específico abordado en este artículo es refinar esta construcción para mostrar que, para cualquier entero positivo fijo $m$, una proporción positiva de formas binarias $F$ fallan el principio de Hasse integral simultáneamente para todas las ecuaciones $F(x, y) = h$ donde $1 \leq h \leq m$.

Metodología
El autor emplea un argumento de conteo constructivo basado en la altura de las formas binarias, ordenadas por el valor absoluto máximo de sus coeficientes. La estrategia se basa en tres componentes principales:

1. Límites Superiores de Soluciones: La construcción utiliza un resultado de Györy (Teorema 2.1), que proporciona un límite superior en el número de soluciones enteras primitivas para desigualdades de Thue $|F(x, y)| \leq M$ cuando el discriminante $|D(F)|$ es suficientemente grande en relación con $M$. Específicamente, si $|D(F)| \geq (3nM)^{6(n-1)}$, el número de soluciones primitivas es a lo sumo $32n + 11$.

2. Construcción Local-Global:

   • Solubilidad Local: El autor construye formas que representan cada entero $h \leq m$ localmente en todas partes (sobre $\mathbb{Z}_p$ para todo $p$). Esto se logra asegurando que las formas tengan raíces simples módulo primos pequeños $p_i$ (permitiendo el levantamiento mediante el Lema de Hensel) y satisfaciendo condiciones de irreducibilidad específicas módulo primos grandes (asegurando la suavidad de las curvas proyectivas asociadas y aplicando la cota de Hasse-Weil).
   • No Solubilidad Global: La construcción genera una gran familia de formas $\{G_j\}$ a partir de una única forma "semilla" $F$. Cada $G_j$ se deriva aplicando una secuencia de transformaciones lineales que involucran los primos $p_1, \dots, p_k$ (donde $p_i < M$). Una solución a $G_j(x, y) = h$ implica una solución a una ecuación escalada que involucra a $F$.

3. Conteo y Densidad:

   • El autor define un conjunto $\tilde{S}$ de formas "semilla" que satisfacen condiciones específicas de Galois y de congruencia (por ejemplo, grupo de Galois $S_n$, raíces simples módulo primos pequeños).
   • A partir de cada $F \in \tilde{S}$, el autor construye $2^k$ formas distintas $G_j$ (don donde $k$ es el número de primos menores que $M$).
   • El artículo demuestra que estas formas $G_j$ son recíprocamente no equivalentes y maximales.
   • Al comparar el número de formas en el conjunto construido $S$ (aquellas que fallan el principio de Hasse) contra el número total de formas de una altura dada, el autor deriva un límite inferior para la proporción de tales formas.

Contribuciones Clave y Resultados
El resultado principal es el Teorema 1.1, que establece:

Sea $m$ un entero positivo. Cuando las formas integrales binarias de grado fijo $n \geq 3$ se ordenan por altura, una proporción positiva de las formas maximales primitivas representa cada entero positivo menor que $m$ localmente en todas partes pero no globalmente.

Los pasos técnicos clave que sustentan este resultado incluyen:

• Fallo Simultáneo: A diferencia de los resultados previos centrados en un solo $h$, esta construcción asegura el fallo del principio de Hasse para todo el rango $1 \leq h \leq m$ para el mismo conjunto de formas.
• Proporción Explícita: El artículo proporciona un límite inferior explícito para la proporción de tales formas. La proporción depende de $m$ y del grado $n$, derivada de la relación entre el número de formas construidas y el número total de formas de una altura dada. El límite involucra términos relacionados con el número de primos $k$ y el crecimiento del discriminante.
• Maximalidad: Se demuestra que las formas construidas son maximales (no subformas propias de otras formas), lo cual es necesario para asegurar que el argumento de conteo sobre el número de soluciones sea válido.
• Generalización: El artículo señala que la construcción se extiende a formas cúbicas ordenadas por el discriminante y a formas cuarticas ordenadas por sus invariantes $I$ y $J$.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma que el trabajo es un refinamiento de la construcción en [2] (Akhtari y Bhargava) para lograr el fallo simultáneo del principio de Hasse para un rango de enteros. La importancia radica en demostrar que el fallo del principio de Hasse integral no es un fenómeno aislado para valores específicos de $h$, sino una propiedad robusta compartida por una proporción positiva de formas a través de un espectro de enteros objetivo.

El autor establece explícitamente que el trabajo es un refinamiento de construcciones previas y no pretende resolver el problema general de caracterizar todas estas formas, sino que establece la existencia de una proporción positiva con estas propiedades específicas de fallo simultáneo. El artículo se apoya en métodos de cribado establecidos (criba de Ekedahl) y cotas de la geometría diofántica (Györy, Hasse-Weil) para validar la densidad del conjunto construido.