Thue equations that simultaneously fail the Hasse principle

Resumo Técnico: Equações de Thue que Falham Simultaneamente o Princípio de Hasse

Enunciado do Problema
O artigo aborda o princípio de Hasse integral para equações de Thue da forma $F(x, y) = h$, onde $F$ é uma forma binária irredutível com coeficientes inteiros de grau $n \geq 3$, e $h$ é um inteiro positivo. Embora o teorema de Thue garanta o número finito de soluções inteiras para $|F(x, y)| \leq m$, o princípio de Hasse integral postula que, se uma equação possui soluções nos inteiros $p$-ádicos $\mathbb{Z}_p$ para todos os primos $p$ (solubilidade local), ela deve possuir uma solução nos inteiros $\mathbb{Z}$ (solubilidade global).

Trabalhos anteriores por Akhtari e Bhargava demonstraram que uma proporção positiva de equações de Thue $F(x, y) = m$ falha este princípio. O problema específico abordado neste artigo é refinar essa construção para mostrar que, para qualquer inteiro positivo fixo $m$, uma proporção positiva de formas binárias falha o princípio de Hasse integral simultaneamente para todas as equações $F(x, y) = h$ onde $1 \leq h \leq m$.

Metodologia
O autor emprega um argumento de contagem construtivo baseado na altura das formas binárias, ordenadas pelo valor absoluto máximo de seus coeficientes. A estratégia baseia-se em três componentes principais:

1. Limites Superiores para Soluções: A construção utiliza um resultado de Györy (Teorema 2.1), que fornece um limite superior para o número de soluções inteiras primitivas para inequações de Thue $|F(x, y)| \leq M$ quando o discriminante $|D(F)|$ é suficientemente grande em relação a $M$. Especificamente, se $|D(F)| \geq (3nM)^{6(n-1)}$, o número de soluções primitivas é no máximo $32n + 11$.

2. Construção Local-Global:

   • Solubilidade Local: O autor constrói formas que representam cada inteiro $h \leq m$ localmente em toda parte (sobre $\mathbb{Z}_p$ para todos os $p$). Isso é alcançado garantindo que as formas possuam raízes simples módulo pequenos primos $p_i$ (permitindo a elevação via Lema de Hensel) e satisfaçam condições de irredutibilidade específicas módulo primos grandes (garantindo a suavidade das curvas projetivas associadas e aplicando a cota de Hasse-Weil).
   • Não-Solubilidade Global: A construção gera uma grande família de formas $\{G_j\}$ a partir de uma única forma "semente" $F$. Cada $G_j$ é derivada pela aplicação de uma sequência de transformações lineares envolvendo os primos $p_1, \dots, p_k$ (onde $p_i < M$). Uma solução para $G_j(x, y) = h$ implica uma solução para uma equação escalonada envolvendo $F$.

3. Contagem e Densidade:

   • O autor define um conjunto $\tilde{S}$ de formas "semente" que satisfazem condições específicas de Galois e congruência (ex: grupo de Galois $S_n$, raízes simples módulo pequenos primos).
   • A partir de cada $F \in \tilde{S}$, o autor constrói $2^k$ formas $G_j$ distintas (onde $k$ é o número de primos menores que $M$).
   • O artigo prova que essas formas $G_j$ são pairwise não-equivalentes e maximais.
   • Ao comparar o número de formas no conjunto construído $S$ (aquelas que falham o princípio de Hasse) contra o número total de formas de uma determinada altura, o autor deriva um limite inferior para a proporção dessas formas.

Principais Contribuições e Resultados
O principal resultado é o Teorema 1.1, que afirma:

Seja $m$ um inteiro positivo. Quando formas integrais de grau fixo $n \geq 3$ são ordenadas por altura, uma proporção positiva de formas maximais primitivas representa cada inteiro positivo menor que $m$ localmente em toda parte, mas não globalmente.

Passos técnicos fundamentais que sustentam este resultado incluem:

• Falha Simultânea: Diferente dos resultados anteriores focados em um único $h$, esta construção garante a falha do princípio de Hasse para todo o intervalo $1 \leq h \leq m$ para o mesmo conjunto de formas.
• Proporção Explícita: O artigo fornece um limite inferior explícito para a proporção de tais formas. A proporção depende de $m$ e do grau $n$, derivada da razão entre o número de formas construídas e o número total de formas de uma determinada altura. O limite envolve termos relacionados ao número de primos $k$ e ao crescimento do discriminante.
• Maximalidade: As formas construídas são mostradas como maximais (não sendo subformas próprias de outras formas), o que é necessário para garantir que o argumento de contagem sobre o número de soluções seja válido.
• Generalização: O artigo observa que a construção se estende a formas cúbicas ordenadas pelo discriminante e formas quárticas ordenadas por seus invariantes $I$ e $J$.

Significância e Alegações
O artigo afirma que o trabalho é um refinamento das construções em [2] (Akhtari e Bhargava) para alcançar a falha simultânea do princípio de Hasse para um intervalo de inteiros. A significância reside em demonstrar que a falha do princípio de Hasse integral não é um fenômeno isolado para valores específicos de $h$, mas uma propriedade robusta compartilhada por uma proporção positiva de formas através de um espectro de inteiros alvo.

O autor declara explicitamente que o trabalho é um refinamento de construções anteriores e não pretende resolver o problema geral de caracterizar todas essas formas, mas sim estabelecer a existência de uma proporção positiva com essas propriedades específicas de falha simultânea. O artigo baseia-se em métodos de peneira estabelecidos (peneira de Ekedahl) e limites da geometria diediofântica (Györy, Hasse-Weil) para validar a densidade do conjunto construído.