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Entropic Dynamics of Jump-Diffusion Option Pricing

Este artículo deriva el modelo de difusión con saltos de Merton y su marco de valoración de opciones asociado a partir de un enfoque de inferencia entrópica que utiliza restricciones de información sobre la dinámica del log-precio y condiciones de no arbitraje, unificando así los procesos continuos y de salto al tiempo que recupera el límite de Black-Scholes cuando los saltos están ausentes.

Autores originales: Mohammad Abedi

Publicado 2026-07-08

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CC BY 4.0

Autores originales: Mohammad Abedi

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que estás tratando de predecir la trayectoria de un excursionista caminando por un bosque.

La mayoría de los modelos financieros tradicionales comienzan suponiendo las reglas del bosque. Dicen: "Asumamos que el excursionista camina en una línea suave y ondulante como un borracho, y ocasionalmente es empujado por una ráfaga de viento repentina". Construyen todo su castillo de naipes basándose en estas suposiciones.

Este artículo, sin embargo, adopta un enfoque completamente diferente. En lugar de adivinar las reglas, se pregunta: "¿Cuál es la forma más lógica de actualizar nuestras creencias sobre la trayectoria del excursionista si solo conocemos unos pocos hechos específicos?"

Los autores utilizan un método llamado Dinámica Entrópica. Piensa en esto como un "motor de lógica" que toma cualquier información que tengas y escupe el escenario más probable, sin añadir conjeturas adicionales. Así es como lo aplican al mercado de valores:

1. La regla adecuada: Midiendo rendimientos, no precios

Primero, los autores se preguntan: "¿Qué estamos midiendo realmente?"
Si una acción pasa de \ $10 a \$ 11, eso es una ganancia del 10%. Si pasa de \ $100 a \$ 101, eso es solo un 1% de ganancia. Al mercado le importa el porcentaje (el rendimiento), no la cantidad de dólares.

La analogía: Imagina medir el progreso de un excursionista. Si mides en "pasos", un paso es un paso. Pero si mides en "millas", un paso significa algo diferente dependiendo de qué tan grande sea el excursionista.
El resultado: El artículo demuestra que, para que las matemáticas sean justas y consistentes, debemos medir la acción en logaritmos (un tipo especial de escala matemática). En esta escala, multiplicar precios se convierte simplemente en sumar números. Esta es la única forma de respetar la simetría del mercado.

2. Los dos carriles de tráfico

El artículo argumenta que los precios de las acciones se mueven en dos "carriles" o canales distintos.

Carril A (El camino suave): Este es el comercio normal y cotidiano. Los precios derivan lentamente y se ondulan un poco. Esta es la parte "continua".
Carril B (El salto): A veces, llegan noticias importantes (como un informe de ganancias o una guerra). El precio no se ondula; se teletransporta a un nuevo nivel. Esta es la parte del "salto".

El gran descubrimiento: Los autores muestran que, debido a que estos dos carriles transportan diferentes tipos de información (uno trata sobre la suavidad, el otro sobre choques repentinos), no interfieren entre sí. Pueden calcularse por separado y luego combinarse.

El resultado: Cuando ejecutan su "motor de lógica" con estos dos carriles, el carril suave se convierte naturalmente en el famoso Movimiento Browniano Geométrico (el modelo estándar utilizado durante décadas), y el carril de saltos se convierte en el modelo de Difusión de Saltos de Merton.
Por qué importa: Ellos no asumieron que estos modelos fueran ciertos. Los derivaron. Es como descubrir la gravedad observando cómo caen las manzanas, en lugar de simplemente decir "asumamos que la gravedad existe".

3. La "sonrisa" del mercado

En el mundo real, las opciones sobre acciones (apuestas sobre precios futuros) tienen un patrón extraño llamado "sonrisa de volatilidad". Esto significa que la gente está dispuesta a pagar más por apuestas que protejan contra grandes caídas de lo que los modelos estándar predicen.

La explicación del artículo: Los modelos estándar asumen que el excursionista solo camina suavemente. ¡Pero el excursionista real salta! Cuando añades el "Carril de Saltos" al modelo, las matemáticas crean naturalmente esta "sonrisa". El mercado no está roto; los modelos antiguos simplemente carecían del carril de saltos.

4. Valorar las opciones: La regla de "no robar"

Ahora, ¿cómo se valora una opción si el mercado tiene saltos?
En un mundo suave, hay un único precio correcto. Pero en un mundo con saltos, el mercado es "incompleto": hay infinitas formas de valorar la opción sin romper las reglas.

La regla: La única regla en la que todos están de acuerdo es No Arbitraje (sin almuerzo gratis). No puedes configurar una operación que no cueste nada, no tenga riesgo y garantice una ganancia.
La solución: Los autores utilizan su motor de lógica nuevamente. Preguntan: "¿Cuál es la forma más lógica de ajustar nuestras probabilidades para que se satisfaga la regla de 'No Almuerzo Gratis'?"
El resultado: El motor selecciona una herramienta matemática específica llamada Transformada de Esscher. Esto no es una regla que ellos inventaron; es la única respuesta lógica que sale de la máquina cuando se le introduce la restricción de "No Almuerzo Gratis".

La conclusión

El mensaje principal del artículo es sobre la información.

Forma antigua: "Asumamos que la acción se mueve como X. Si X es erróneo, nuestro modelo falla".
Nueva forma: "Aquí está la información que tenemos (los precios se mueven suavemente, pero a veces saltan; no se permiten almuerzos gratis). ¿Cuál es el modelo más lógico que se ajusta a esto?".

Los autores demuestorden que, si introduces la información correcta en este motor de lógica, obtienes los modelos estándar (Black-Scholes) como un caso especial cuando los saltos desaparecen, y los modelos más complejos (Merton) cuando los saltos están presentes. La "magia" no está en las matemáticas; está en el hecho de que las matemáticas son solo un reflejo de la información que introduces.

En resumen: No inventaron una nueva forma en que las acciones se mueven. Construyeron una máquina que demuestra que la forma en que las acciones realmente se mueven es el único resultado lógico de la información que proporciona el mercado.

Resumen Técnico: Dinámica Entrópica de la Valoración de Opciones con Difusión de Saltos

Planteamiento del Problema
Los modelos financieros estándar, como el Movimiento Browniano Geométrico (MBG) y el marco de Black–Scholes, dependen de la postulación de procesos estocásticos específicos para los precios de las acciones. Si bien estos modelos describen con éxito la evolución continua de los precios, no logran capturar las realidades empíricas: los rendimientos de los activos exhiben leptocurtosis, asimetría negativa y colas pesadas, mientras que los mercados de opciones muestran sonrisas y sesgos de volatilidad persistentes. Estas características se atribuyen a saltos discontinuos en los precios provocados por eventos de información discretos (por ejemplo, resultados de ganancias, decisiones de política económica). Además, la presencia de saltos hace que los mercados sean incompletos, lo que significa que la condición de no arbitraje por sí sola es insuficiente para determinar de forma única una medida de valoración neutral al riesgo. La literatura existente suele asumir un proceso de difusión de saltos (por ejemplo, el modelo de Merton) y una medida de valoración específica (por ejemplo, la transformada de Esscher) como axiomas. Este artículo aborda la necesidad de derivar estas dinámicas y medidas de valoración a partir de primeros principios utilizando información incompleta, en lugar de asumirlas.

Metodología: Inferencia Entrópica
El artículo emplea la Dinámica Entrópica (DE), un marco inductivo basado en el método de Máxima Entropía (MaxEnt) y la entropía relativa. La filosofía central es que las dinámicas no son leyes mecánicas, sino actualizaciones inferenciales de distribuciones de probabilidad a medida que llega nueva información. La metodología procede en dos fases distintas:

Derivación de la Dinámica (El Modelo de la Acción):
- Selección de Variables: El marco comienza identificando la variable dinámica correcta. Al imponer la simetría de retorno (invarianza de las probabilidades de transición bajo el reescalado uniforme de precios), el artículo deriva que el logaritmo del precio ( $\ln S$ ) es la única variable que vuelve aditivas las reescalaciones multiplicativas.
- El Canal Continuo: La dinámica de $\ln S$ se construye maximizando la entropía relativa sujeta a dos restricciones: continuidad (el siguiente precio es cercano al actual, codificado mediante una restricción de desplazamiento cuadrático medio) y direccionalidad (una deriva sistemática, codificada mediante una restricción de retorno logarítmico medio). Esto produce un prior gaussiano sin deriva y un posterior desplazado, recuperando el MBG sin asumirlo.
- El Canal de Saltos: Para dar cuenta de las discontinuidades, se amplía el microestado para incluir una variable de conteo de saltos ( $n$ ) y un tamaño de salto ( $Y$ ). El marco introduce tres restricciones adicionales: la tasa de llegada esperada ( $\lambda$ ), y los dos primeros momentos del tamaño del salto ( $\kappa, \nu$ ).
- Factorización: Crucialmente, debido a que las restricciones sobre el canal de saltos son disjuntas de las del canal continuo, el procedimiento de MaxEnt obliga al posterior a factorizarse. El componente continuo sigue siendo un MBG, mientras que el componente de salto se deriva como una distribución gaussiana para el tamaño del salto. La combinación produce el proceso de difusión de saltos de Merton como un teorema, no como un supuesto.
- Ecuación de Evolución: Se demuestra que la evolución de la densidad del log-precio obedece la ecuación de Kolmogorov–Feller, que generaliza la ecuación de Fokker–Planck al incluir un término integral para los saltos.
Derivación de la Valoración (Valoración de Opciones):
- Incompletitud del Mercado: Con la presencia de saltos, el mercado es incompleto, lo que significa que la medida de valoración equivalente (MVE) no es única. El no arbitraje por sí solo no puede seleccionar una única medida.
- Principio de Selección: El artículo impone el no arbitraje a través de la restricción de retorno logarítmico medio (reemplazando la deriva subjetiva por la tasa libre de riesgo ajustada por convexidad). Luego, maximiza la entropía relativa de la medida de valoración con respecto a la medida física de difusión de saltos.
- La Transformada de Esscher: Este procedimiento de inferencia selecciona de forma única la transformada de Esscher como la medida de valoración. El artículo argumenta que esto no es una imposición externa, sino una consecuencia de actualizar las creencias basadas en la restricción del retorno logarítmico medio.
- Preservación de la Estructura: La restricción del retorno logarítmico asegura que la medida de valoración permanezca dentro de la familia de difusión de saltos, simplemente desplazando la deriva, la intensidad y la distribución del tamaño del salto.
- Ecuación de Valoración: La prima de la opción resultante satisface la ecuación de la integral-diferencial parcial (PIDE) de Merton. La distribución neutral al riesgo es una mezcla de lognormales ponderada por Poisson, lo que genera naturalmente la sonrisa de volatilidad implícita.

Contribuciones Clave y Resultados

Derivación del Modelo de Merton: El artículo deriva el proceso de difusión de saltos de Merton y su correspondiente ecuación de Kolmogorov–Feller estrictamente a partir de principios de inferencia entrópica, reemplazando la postulación estándar de estos modelos.
Derivación de la Transformada de Esscher: Demuestra que la transformada de Esscher, ampliamente utilizada en la valoración de difusión de saltos, es la medida única seleccionada al maximizar la entropía relativa bajo una restricción de no arbitraje de retorno logarítmico medio.
Unificación de Modelos: El marco muestra que Black–Scholes (MBG) y Black–Scholes–Merton (Difusión de Saltos) no son teorías competidoras, sino casos límite de una única maquinaria inferencial, distinguidos únicamente por la información (restricciones) suministrada al sistema.
Sonrisa de Volatilidad: El modelo produce naturalmente la sonrisa y el sesgo de volatilidad implícita observados en los mercados de renta variable como una consecuencia directa de las restricciones de salto, sin requerir funciones de volatilidad ad hoc.
Resolución de la No Unicidad: El artículo replantea la no unicidad de la medida de valoración en mercados incompletos como la no unicidad de la restricción de información utilizada para imponer el no arbitraje. Elegir el retorno logarítmico medio produce la medida de Esscher; elegir el retorno bruto produciría una medida diferente (canónica).

Significado y Reivindicaciones
El artículo sostiene que su contribución central es metodológica. Postula que la distincción entre diferentes modelos financieros reside no en el motor de inferencia en sí, sino en la información (restricciones) específica que se introduce en él. Al tratar las dinámicas como "mecánica sin un mecanismo", los autores argumentan que el marco entrópico proporciona una base unificada y fundamentada para la modelización financiera.

El trabajo afirma que:

Las dinámicas se infieren, no se asumen: Los procesos como el MBG y la Difusión de Saltos son los resultados necesarios de la maximización de la entropía bajo ciertas simetrías económicas y restricciones de información.
La valoración es un problema de inferencia: La selección de una medida neutral al riesgo es un paso inductivo impulsado por la elección de la observable utilizada para imponer el no arbitraje.
Modularidad: El marco permite la integración fluida de nuevas características de mercado (como los saltos) simplemente ampliando el microestado y añadiendo las restricciones correspondientes, sin descartar la lógica inferencial subyacente.

El artículo concluye que la "verdadera dificultad" en la modelización no reside en el mecanismo de actualización (que es fijo por el principio de MaxEnt), sino en identificar correctamente las variables relevantes y la información genuinamente pertinente para el problema en cuestión.