Entropic Dynamics of Jump-Diffusion Option Pricing

Résumé Technique : Dynamique Entropique de l'Évaluation des Options à Diffusion par Sauts

Énoncé du Problème
Les modèles financiers standards, tels que le mouvement brownien géométrique (GBM) et le cadre de Black–Scholes, reposent sur la postulation de processus stochastiques spécifiques pour les prix des actions. Bien que ces modèles décrivent avec succès l'évolution continue des prix, ils ne parviennent pas à capturer les réalités empiriques : les rendements des actifs présentent une leptocurticité, une asymétrie négative et des queues épaisses, tandis que les marchés d'options affichent des sourires et des pentes de volatilité persistants. Ces caractéristiques sont attribuées à des sauts de prix discontinus déclenchés par des événements d'information discrets (ex. : résultats d'entreprises, décisions de politique monétaire). De plus, la présence de sauts rend les marchés incomplets, ce qui signifie que la condition d'absence d'arbitrage est insuffisante pour déterminer de manière unique une mesure de risque neutre. La littérature existante suppose généralement un processus de diffusion par sauts (ex. : le modèle de Merton) et une mesure de prix spécifique (ex. : la transformée d'Esscher) comme des axiomes. Cet article répond à la nécessité de dériver ces dynamiques et ces mesures de prix à partir de principes fondamentaux en utilisant l'information incomplète, plutôt que de les assumer.

Méthodologie : Inférence Entropique
L'article emploie la Dynamique Entropique (DE), un cadre inductif basé sur la méthode de l'Entropie Maximale (MaxEnt) et de l'entropie relative. La philosophie centrale est que les dynamiques ne sont pas des lois mécaniques mais des mises à jour inférentielles de distributions de probabilité à mesure que de nouvelles informations arrivent. La méthodologie procède en deux phases distinctes :

1. Dérivation de la Dynamique (Le Modèle de l'Action) :

   • Sélection de la Variable : Le cadre commence par identifier la variable dynamique correcte. En imposant la symétrie de rendement (invariance des probabilités de transition sous un remodelage multiplicatif uniforme du prix), l'article démontre que le logarithme du prix ($\ln S$) est la variable unique qui rend les remodelages multiplicatifs additifs.
   • Le Canal Continu : La dynamique de $\ln S$ est construite en maximisant l'entropie relative sous deux contraintes : la continuité (le prix suivant est proche du prix actuel, codée via une contrainte de déplacement quadratique moyenne) et la directionnalité (un dérive systématique, codée via une contrainte de rendement logarithmique moyenne). Cela produit un a priori gaussien sans dérive et un a posteriori gaussien décalé, récupérant le GBM sans l'assumer.
   • Le Canal de Saut : Pour rendre compte des discontinuités, le micro-état est élargi pour inclure une variable de comptage de sauts ($n$) et une taille de saut ($Y$). Le cadre introduit trois contraintes supplémentaires : le taux d'arrivée attendu ($\lambda$), et les deux premiers moments de la taille du saut ($\kappa, \nu$).
   • Factorisation : Crucialement, parce que les contraintes sur le canal de saut sont disjointes de celles sur le canal continu, la procédure MaxEnt force le a posteriori à se factoriser. La composante continue reste un GBM, tandis que la composante de saut est dérivée comme une distribution gaussienne pour la taille du saut. La combinaison produit le processus de diffusion par sauts de Merton comme un théorème, et non comme une hypothèse.
   • Équation Directe : L'évolution de la densité du logarithme du prix montre qu'elle obéit à l'équation de Kolmogorov–Feller, qui généralise l'équation de Fokker–Planck en incluant un terme intégral pour les sauts.

2. Dérivation de l'Évaluation (Valorisation d'Options) :

   • Incomplétude du Marché : Avec les sauts, le marché est incomplet, et la mesure de martingale équivalente (EMM) n'est pas unique. L'absence d'arbitrage seule ne peut sélectionner une mesure unique.
   • Principe de Sélection : L'article impose l'absence d'arbitrage via la contrainte de rendement logarithmique moyen (remplaçant la dérive subjective par le taux sans risque ajusté pour la convexité). Il maximise ensuite l'entropie relative de la mesure de prix par rapport à la mesure physique de diffusion par sauts.
   • La Transformée d'Esscher : Cette procédure d'inférence sélectionne de manière unique la transformée d'Esscher comme mesure de prix. L'article soutient que ceci n'est pas une imposition externe mais une conséquence de la mise à jour des croyances basée sur la contrainte de rendement logarithmique moyen.
   • Préservation de la Structure : La contrainte de rendement logarithmique garantit que la mesure de prix reste dans la famille de la diffusion par sauts, décalant simplement la dérive, l'intensité et la distribution de la taille du saut.
   • Équation de Prix : La prime d'option résultante satisfait l'équation de l'intégrale-différentielle partielle (PIDE) de Merton. La distribution risque-neutre est un mélange de lognormales pondéré par une loi de Poisson, ce qui génère naturellement le sourire de volatilité implicite.

Contributions Clés et Résultats

• Dérivation du Modèle de Merton : L'article dérive le processus de diffusion par sauts de Merton et l'équation de Kolmogorov–Feller associée strictement à partir des principes d'inférence entropique, remplaçant la postulation standard de ces modèles.
• Dérivation de la Transformée d'Esscher : Il démontre que la transformée d'Esscher, largement utilisée dans l'évaluation par sauts, est la mesure unique sélectionnée par la maximisation de l'entropie relative sous une contrainte d'absence d'arbitrage de rendement logarithmique moyen.
• Unification des Modèles : Le cadre montre que Black–Scholes (GBM) et Black–Scholes–Merton (Diffusion par sauts) ne sont pas des théories concurrentes mais des cas limites d'une seule machinerie inférentielle, distingués uniquement par l'information (contraintes) fournie au système.
• Sourire de Volatilité : Le modèle produit naturellement le sourire et la pente de volatilité implicite observés sur les marchés d'actions comme une conséquence directe des contraintes de saut, sans nécessiter de fonctions de volatilité ad hoc.
• Résolution de la Non-Unicité : L'article recadre la non-unicité de la mesure de prix dans les marchés incomplets comme la non-unicité de la contrainte informationnelle utilisée pour imposer l'absence d'arbitrage. Choisir le rendement logarithmique moyen produit la mesure d'Esscher ; choisir le rendement brut produirait une mesure différente (canonique).

Signification et Revendications
L'article affirme que sa contribution centrale est méthodologique. Il pose que la distinction entre différents modèles financiers ne réside pas dans le moteur d'inférence lui-même, mais dans les informations (contraintes) spécifiques injectées dans celui-ci. En traitant les dynamiques comme une « mécanique sans mécanisme », les auteurs soutiennent que le cadre entropique fournit une base unifiée et fondée pour la modélisation financière.

L'ouvrage affirme que :

1. Les dynamiques sont inférées, non supposées : Les processus comme le GBM et la diffusion par sauts sont les résultats nécessaires de la maximisation de l'entropie sous des symétries économiques et des contraintes d'information spécifiques.
2. L'évaluation est un problème d'inférence : La sélection d'une mesure risque-neutre est une étape inductive pilotée par le choix de l'observable utilisé pour imposer l'absence d'arbitrage.
3. Modularité : Le cadre permet l'intégration fluide de nouvelles caractéristiques de marché (comme les sauts) en élargissant simplement le micro-état et en ajoutant des contraintes correspondantes, sans rejeter la logique inférentielle sous-jacente.

L'article conclut que la « véritable difficulté » de la modélisation ne réside pas dans le mécanisme de mise à jour (qui est fixé par le principe de MaxEnt) mais dans l'identification correcte des variables pertinentes et de l'information réellement importante pour le problème posé.