Aperiodicity and subword complexity in the binary expansion of powers of three

Resumen Técnico: Aperiodicidad y Complejidad de Subpalabras en la Expansión Binaria de las Potencias de Tres

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga las propiedades estructurales finas de los dígitos binarios de los enteros de la forma $3^m$. Si bien trabajos previos establecieron que el número de dígitos binarios no nulos ($s_2(3^m)$) y el número de "bloques" (secuencias máximas de dígitos idénticos) tienden a infinito a medida que $m$ aumenta, estos resultados no caracterizan completamente la disposición de dichos dígitos. Específicamente, el artículo aborda dos vacíos:

1. Aperiodicidad: ¿Existen patrones periódicos largos (secuencias de periodo $p$) en la expansión binaria de $3^m$? Los resultados previos descartaron secuencias constantes largas (periodo $p=1$), pero el comportamiento para periodos fijos $p > 1$ era desconocido.
2. Complejidad de Subpalabras: ¿Presenta la palabra binaria finita formada por los dígitos de orden bajo de $3^m$ una complejidad "completa"? En el contexto de palabras infinitas, el teorema de Morse–Hedlund establece que la complejidad de subpalabras $p(n) \le n$ implica periodicidad eventual. El artículo busca determinar si la palabra finita de $3^m$ satisface el límite inferior $p_{3^m}(n) \ge n+1$ para $m$ suficientemente grande, probando efectivamente que no es "demasiado simple" o periódica dentro de su longitud.

Metodología
Las demostraciones se basan en una combinación de teoría de números trascendentes y análisis combinatorio de palabras:

• Formas Lineales en Logaritmos: El motor central es el teorema efectivo de Baker y Wüstholz relativo a las formas lineales en logaritmos de números algebraicos. El artículo utiliza esto para establecer "principios de brecha" (gap principles). La lógica sigue este curso: si existe un tramo periódico largo en la expansión binaria de $3^m$, esto fuerza una identidad entera específica que resulta en una forma lineal no nula $\Lambda$ en logaritmos de 2, 3 y enteros auxiliares. El teorema de Baker–Wüstholz proporciona un límite inferior en $|\Lambda|$, lo cual contradice la pequeñez implicada por la existencia de una ventana periódica larga.
  • Novedad: El artículo introduce una nueva estimación de secuencias de periodo-$p$ (Lema 2.2). Mientras que los resultados clásicos utilizan formas lineales de tres términos para acotar secuencias constantes, este trabajo deriva una forma lineal de cuatro términos para acotar secuencias periódicas de un periodo fijo $p$ arbitrario.
• Propagación Combinatoria: Para abordar la complejidad de subpalabras, el artículo emplea una versión cuantitativa finita del teorema de Morse–Hedlund (Lema 4.1). Este lema establece que si una palabra tiene baja complejidad de subpalabras (a lo sumo $n$ factores distintos de longitud $n$), debe contener un factor periódico largo. Este factor periódico es luego introducido en la estimación de la secuencia de periodo-$p$ para derivar una contradicción para $m$ grande.
• Verificación Formal: Todos los teoremas y lemas del artículo han sido verificados formalmente utilizando el asistente de pruebas Lean 4.

Contribuciones Clave y Resultados

1. Aperiodicidad de Secuencias de Periodo-$p$ (Teorema A)
El artículo demuestra que para cualquier periodo fijo $p \ge 1$, el número de posiciones donde la expansión binaria de $3^m$ rompe la $p$-periodicidad, denotado como $B_p(3^m)$, crece asintóticamente.

• Resultado: $B_p(3^m) \ge \frac{\log m}{\log \log m + C_p} - 2$ para una constante $C_p > 0$.
• Implicación: Ninguna ventana de la expansión binaria de $3^m$ más profunda que una potencia fija de $\log m$ puede ser $p$-periódica. Esto generaliza el resultado conocido para $p=1$ (Blecksmith–Filaseta–Nicol; Bugeaud–Kaneko) a todos los periodos fijos.

2. Complejidad de Subpalabras de Bajo Orden Completa (Teorema B)
El artículo establece un límite inferior en la complejidad de subpalabras de la palabra binaria finita formada por los dígitos de orden bajo de $3^m$.

• Resultado: Para cada longitud $n \ge 1$, la función de complejidad satisface $p_{3^m}(n) \ge n + 1$ para todo $m$ suficientemente grande.
• Umbral: El umbral $m$ es efectivo. Ocurre cuando el crecimiento lineal del número de dígitos $M(3^m) \approx m \log_2 3$ sobrepasa un límite de orden $n^2 \log m$ derivado de la estimación de la secuencia de periodo-$p$.
• Implicación: La palabra finita de $3^m$ no es eventualmente periódica en el sentido de tener baja complejidad; posee una complejidad "completa" relativa a su longitud, satisfaciendo la condición que impide la periodicidad en palabras infinitas.

Significancia y Reivindicaciones
El autor afirma que estos resultados fortalecen la comprensión de la distribución de los dígitos binarios en las potencias de tres en dos direcciones específicas:

• Extensión de Límites Conocidos: Mientras que el teorema de Stewart y trabajos posteriores establecieron que $3^m$ tiene pocos dígitos dispersos y muchos bloques, este artículo extiende el resultado de aperiodicidad a cualquier periodo fijo $p$, no solo a secuencias constantes.
• Contexto Finito vs. Infinito: El artículo distingue su contribución de los estudios sobre irracionales algebraicos (que tienen expansiones infinitas). Proporciona los primeros resultados cuantitativos sobre cambios de dígitos y complejidad de subpalabras específicamente para la palabra finita de una sola potencia $3^m$.
• Optimalidad: El Teorema B se presenta como el análogo del teorema de Morse–Hedlund para la palabra de dígitos finitos de $3^m$, situándose en el "óptimo de formas lineales". El artículo señala que demostrar una complejidad superlineal por palabra es una cuestión separada y más difícil que no se aborda aquí.

El trabajo se apoya en la interacción entre las propiedades aritméticas de $3^m$ (vía la teoría de Baker) y la estructura combinatoria de su cadena de dígitos, proporcionando límites inferiores efectivos sobre el "desorden" o la aperiodicidad inherente a estos números.