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Aperiodicity and subword complexity in the binary expansion of powers of three

Cet article établit que les développements binaires des puissances de trois présentent une périodicité croissante, avec un nombre de positions brisant la périodicité croissant selon $\log m/\log\log m$ , et démontre que leurs chiffres d'ordre faible atteignent une complexité de sous-mot complète pour des exposants suffisamment grands.

Auteurs originaux : Ralf Stephan

Publié 2026-07-17

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Auteurs originaux : Ralf Stephan

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La vie secrète des nombres : un voyage au cœur des motifs binaires

Imaginez que vous êtes un détective tentant de trouver des motifs dans une ville chaotique. Dans le monde des mathématiques, cette ville est le système numérique, et le chaos réside dans la manière dont les nombres apparaissent lorsqu'ils sont écrits dans différentes langues. Nous parlons habituellement le « décimal », en utilisant dix chiffres (de 0 à 9), mais les ordinateurs parlent le « binaire », un langage composé de seulement deux chiffres : 0 et 1. Lorsque vous prenez un nombre comme 3 et que vous le multipliez par lui-même encore et encore (3, 9, 27, 81, et ainsi de suite), vous obtenez une séquence de nombres qui grandit énormément et très rapidement. Si vous écrivez ces nombres massifs en binaire, ils ressemblent à de longues chaînes dentelées de zéros et de uns.

Les mathématiciens se demandent depuis longtemps : ces chaînes de zéros et de uns suivent-elles un rythme caché, ou sont-elles complètement aléatoires ? Cette question appartient à un domaine appelé la théorie des nombres, qui étudie les propriétés profondes et souvent mystérieuses des nombres entiers. Une idée clé ici est la « périodicité ». Pensez à un motif périodique comme à un motif de papier peint qui répète la même fleur tous les quelques centimètres. Si le code binaire d'un nombre avait une période, cela signifierait qu'après un certain point, le motif de zéros et de uns commencerait à se répéter parfaitement, comme une chanson en boucle. Un autre concept important est la « complexité », qui mesure combien de différents petits morceaux du motif existent. Si une chaîne est simple, elle possède peu de morceaux différents ; si elle est complexe, elle possède une immense variété d'entre eux. Comprendre ces motifs nous aide à voir si des nombres comme les puissances de trois sont véritablement chaotiques ou s'ils cachent un ordre secret que nous n'avons pas encore trouvé.

La découverte de l'article : le chaos dans le code binaire

Dans cet article, le mathématicien Ralf Stephan étudie l'expansion binaire des puissances de trois ( $3^m$ ). Il pose une question très spécifique : à mesure que ces nombres deviennent de plus en plus grands, leurs chiffres binaires finissent-ils par se stabiliser dans une boucle répétitive, ou restent-ils désordonnés et imprévisibles ?

L'auteur prouve deux choses principales, lesquelles confirment toutes deux que le code binaire de $3^m$ est délicieusement chaotique et refuse d'être dompté par une simple répétition.

Premièrement, la règle de « l'absence de boucle » :
L'auteur prouve que pour tout motif répétitif fixé que vous pourriez essayer de trouver (disons, un motif qui se répète tous les 5 chiffres, ou tous les 100 chiffres), le code binaire de $3^m$ finira par briser ce motif. C'est comme si vous essayiez de forcer un animal sauvage à marcher en un cercle parfait ; peu importe le temps que vous attendrez, l'animal finira par sortir de la ligne. L'article montre qu'à mesure que la puissance $m$ augmente, le nombre de fois où le code binaire « brise » cette périodicité croît. Plus précisément, le nombre de ces ruptures croît approximativement comme $\frac{\log m}{\log \log m}$ .

Pour utiliser une analogie : imaginez que les chiffres binaires de $3^m$ sont une longue ligne de danseurs. Si vous essayez de les faire danser sur un pas répétitif (une période), l'article prouve que plus la ligne est longue, plus le nombre de danseurs qui rateront inévitablement le pas augmente. L'article calcule que le nombre de ces « ratés » augmente à mesure que le nombre devient plus grand, ce qui signifie que la danse ne se stabilise jamais dans une boucle parfaite et ennuyeuse. Même si vous regardez une fenêtre de la piste de danse qui est aussi profonde qu'une puissance fixe du logarithme de $m$ , vous ne trouverez pas de motif répétitif parfait.

Deuxièmement, la règle de la « variété maximale » :
La seconde conclusion concerne le nombre de différents « morceaux » de code binaire qui existent. Si vous prenez une petite tranche de la chaîne binaire (disons, 10 chiffres de long), combien de combinaisons différentes de 0 et de 1 pouvez-vous trouver ? L'article prouve que pour des puissances de trois suffisamment grandes, le nombre de différents morceaux de longueur $n$ est au moins $n + 1$ .

En termes courants, cela signifie que le code binaire est « maximalement complexe » à bas niveau. Ce n'est pas seulement aléatoire ; c'est richement aléatoire. Si vous avez une chaîne de longueur $n$ , le motif le plus simple possible (comme une boucle parfaite) n'aurait que $n$ morceaux différents. Mais $3^m$ en possède au moins $n + 1$ . C'est comme un jeu de cartes qui, peu importe comment vous le mélangez, parvient toujours à produire une main unique de plus que le strict minimum requis pour être considéré comme « pas ennuyeux ». Cela prouve que les chiffres d'ordre inférieur de $3^m$ sont aussi divers et imprévisibles qu'ils peuvent l'être sans être infinis.

À quel point en sommes-nous sûrs ?
L'auteur est extrêmement confiant dans ces résultats. L'article ne se contente pas de deviner ou de simuler ; il fournit une preuve mathématique rigoureuse. La logique repose sur un outil puissant appelé « formes linéaires de logarithmes », qui agit comme une loupe mathématique pour montrer que si les motifs étaient simples, les nombres devraient être impossibles à décrire ou contradictoires. L'article mentionne également que ces preuves ont été formellement vérifiées par un programme informatique appelé Lean 4, qui revérifie chaque étape logique pour s'assurer qu'il n'y a pas d'erreurs. Nous pouvons donc être certains que l'expansion binaire des puissances de trois est apériodique et possède une pleine complexité de sous-mots.

En résumé, l'article nous dit que les puissances de trois sont les ultimes rebelles du monde des nombres. Elles refusent de tomber dans un rythme prévisible, et leur code binaire est un trésor de motifs uniques et non répétitifs qui deviennent de plus en plus complexes à mesure que les nombres grandissent.

Résumé technique : Aperiodicitée et complexité de sous-mots dans l'expansion binaire des puissances de trois

Énoncé du problème
Cet article étudie les propriétés structurelles fines des chiffres binaires des entiers de la forme $3^m$ . Alors que des travaux antérieurs ont établi que le nombre de chiffres binaires non nuls ( $s_2(3^m)$ ) et le nombre de « blocs » (suites maximales de chiffres identiques) tendent vers l'infini à mesure que $m$ augmente, ces résultats ne caractérisent pas pleinement l'arrangement de ces chiffres. Plus précisément, l'article traite de deux lacunes :

Aperiodicitée : Des motifs périodiques longs (suites de période $p$ ) existent-ils dans l'expansion binaire de $3^m$ ? Des résultats précédents ont exclu les longues suites constantes (période $p=1$ ), mais le comportement pour des périodes fixes $p > 1$ était inconnu.
Complexité de sous-mots : Le mot binaire fini formé par les chiffres d'ordre inférieur de $3^m$ présente-t-il une complexité « complète » ? Dans le contexte des mots infinis, le théorème de Morse–Hedlund stipule que la complexité de sous-mots $p(n) \le n$ implique une périodicité éventuelle. L'article cherche à déterminer si le mot fini de $3^m$ satisfait la borne inférieure $p_{3^m}(n) \ge n+1$ pour $m$ suffisamment grand, prouvant ainsi qu'il n'est pas « trop simple » ou périodique au sein de sa propre longueur.

Méthodologie
Les preuves reposent sur une combinaison de la théorie des nombres transcendants et de l'analyse combinatoire des mots :

Formes linéaires de logarithmes : Le moteur central est le théorème effectif de Baker et Wüstholz concernant les formes linéaires de logarithmes de nombres algébriques. L'article utilise cela pour établir des « principes d'écart ». La logique suit ce raisonnement : si une longue suite périodique existe dans l'expansion binaire de $3^m$ $3^{m}$ , elle impose une identité entière spécifique qui résulte en une forme linéaire non nulle $\Lambda$ $Λ$ de logarithmes de 2, 3 et d'entiers auxiliaires. Le théorème de Baker–Wüstholz fournit une borne inférieure sur $|\Lambda|$ $∣Λ∣$ , ce qui contredit la petitesse impliquée par l'existence d'une longue fenêtre périodique.
- Nouveauté : L'article introduit une nouvelle estimation de la course de période- $p$ (Lemme 2.2). Alors que les résultats classiques utilisent des formes linéaires à trois termes pour borner les suites constantes, ce travail dérive une forme linéaire à quatre termes pour borner les suites périodiques de toute période fixe $p$ .
Propagation combinatoire : Pour traiter la complexité de sous-mots, l'article emploie une version quantitative finie du théorème de Morse–Hedlund (Lemme 4.1). Ce lemme établit que si un mot possède une faible complexité de sous-mots (au plus $n$ facteurs distincts de longueur $n$ ), il doit contenir un long facteur périodique. Ce facteur périodique est ensuite injecté dans l'estimation de la course de période- $p$ pour dériver une contradiction pour de grands $m$ .
Vérification formelle : Tous les théorèmes et lemmes de l'article ont été vérifiés formellement à l'aide de l'assistant de preuve Lean 4.

Contributions clés et résultats

1. Aperiodicitée des courses de période- $p$ (Théorème A)
L'article prouve que pour toute période fixe $p \ge 1$ , le nombre de positions où l'expansion binaire de $3^m$ brise la périodicité de $p$ , noté $B_p(3^m)$ , croît asymptotiquement.

Résultat : $B_p(3^m) \ge \frac{\log m}{\log \log m + C_p} - 2$ pour une constante $C_p > 0$ .
Implication : Aucune fenêtre de l'expansion binaire de $3^m$ plus profonde qu'une puissance fixe de $\log m$ ne peut être $p$ -périodique. Cela généralise le résultat connu pour $p=1$ (Blecksmith–Filaseta–Nicol ; Bugeaud–Kaneko) à toutes les périodes fixes $p$ .

2. Complexité de sous-mots complète des chiffres d'ordre inférieur (Théorème B)
L'article établit une borne inférieure sur la complexité de sous-mots du mot binaire fini formé par les chiffres d'ordre inférieur de $3^m$ .

Résultat : Pour toute longueur $n \ge 1$ , la fonction de complexité satisfait $p_{3^m}(n) \ge n + 1$ pour tout $m$ suffisamment grand.
Seuil : Le seuil $m$ est effectif. Il survient lorsque la croissance linéaire du nombre de chiffres $M(3^m) \approx m \log_2 3$ dépasse une borne d'ordre $n^2 \log m$ dérivée de l'estimation de la course de période- $p$ .
Implication : Le mot fini de $3^m$ n'est pas périodique de façon éventuelle au sens d'avoir une faible complexité ; il possède une complexité « complète » par rapport à sa longueur, satisfaisant la condition qui empêche la périodicité dans les mots infinis.

Signification et affirmations
L'auteur affirme que ces résultats renforcent la compréhension de la distribution des chiffres binaires des puissances de trois dans deux directions spécifiques :

Extension des bornes connues : Bien que le théorème de Stewart et les travaux ultérieurs aient établi que $3^m$ possède peu de chiffres clairsemés et beaucoup de blocs, cet article étend le résultat d'aperiodicitée à toute période fixe $p$ , et non seulement aux suites constantes.
Contexte fini vs infini : L'article distingue sa contribution des études sur les irrationnels algébriques (qui ont des expansions infinies). Il fournit les premiers résultats quantitatifs sur les changements de chiffres et la complexité de sous-mots spécifiquement pour le mot fini d'une seule puissance $3^m$ .
Optimalité : Le Théorème B est présenté comme l'analogue du théorème de Morse–Hedlund pour le mot de chiffres fini de $3^m$ , se situant à l'« optimum des formes linéaires ». L'article note que prouver une complexité par mot superlinéaire est une question distincte et plus difficile qui n'est pas traitée ici.

Le travail repose sur l'interaction entre les propriétés arithmétiques de $3^m$ (via la théorie de Baker) et la structure combinatoire de sa chaîne de chiffres, fournissant des bornes inférieures effectives sur le « désordre » ou l'aperiodicitée inhérents à ces nombres.

La vie secrète des nombres : un voyage au cœur des motifs binaires

La découverte de l'article : le chaos dans le code binaire

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