A Relaxed Gradient Step Denoiser for Splitting Methods in Poisson Inverse Problems

Resumen Técnico: Un Denoiser de Paso de Gradiente Relajado para Métodos de División en Problemas Inversos de Poisson

Planteamiento del Problema
La restauración de imágenes en campos científicos como la microscopía, la astronomía y la imagenología médica a menudo implica recuperar una imagen limpia $x^\star$ a partir de datos observados $g$ corrompidos por un desenfoque lineal $H$, un fondo $b$ y ruido de Poisson. El enfoque estándar formula esto como un problema de estimación de Máxima Verosimilitud a Posteriori (MAP), minimizando un término de fidelidad de datos de Kullback–Leibler (KL) más un término de regularización. Aunque los métodos Plug-and-Play (PnP) han logrado un éxito significativo en entornos de ruido Gaussiano al reemplazar los operadores proximales con denoisers aprendidos, su aplicación a problemas inversos de Poisson es desafiante. La naturaleza no cuadrática de la función de fidelidad KL complica el análisis de convergencia, particularmente al integrarse con métodos de división como PnPSplit+, que dependen de propiedades específicas del denoiser, tales como la No Expansividad Firme (FNE).

Metodología
El artículo propone GSDSplit+, una variante estructurada del algoritmo PnPSplit+ diseñada para datos de Poisson. La innovación central es el reemplazo del bloque de denosing genérico PnP por un Denoiser de Paso de Gradiente Relajado (GSD).

1. Marco Algorítmico: El método utiliza un esquema de Método de Alternancia de Multiplicadores de Penalización (ADMM). A diferencia del PnP estándar donde el denoiser es una caja negra, GSDSplit+ define el denoiser como:
   $$D_{\vartheta, \alpha}(x) = x - \alpha \nabla \psi_\vartheta(x)$$
   Aquí, $\psi_\vartheta$ es un potencial convexo aprendido parametrizado por una Red Neuronal de Convexidad de Entrada (ICNN), y $\alpha$ es un parámetro de relajación. Esta estructura asegura que el residuo de denosing sea un campo de gradiente explícito, conectando los esquemas de división con formulaciones de punto fijo como RED-PRO.

2. Condiciones de Convergencia: La convergencia de GSDSplit+ depende de que el denoiser sea No Expansivo Firme (FNE). Los autores establecen que si $\psi_\vartheta$ es convexo y $L$-suave, el operador $D_{\vartheta, \alpha}$ es FNE siempre que $\alpha L \leq 1$. Esto permite el uso de redes con constantes de suavidad $L > 1$ mediante el ajuste del parámetro de relajación $\alpha$.

3. Estrategia de Entrenamiento: La ICNN se entrena utilizando una pérdida de denosing gaussiano residual. Para satisfacer los requisitos teóricos, el entrenamiento incluye:

   • Una función de activación suavizada (una aproximación diferenciable de LeakyReLU) para asegurar que la red permanezca convexa y diferenciable.
   • Una fase de ajuste fino orientada a la suavidad utilizando una penalización espectral sobre el Hessiano del potencial. Esta penalización fomenta que la constante de Lipschitz $L$ del gradiente sea cercana a 1, facilitando la selección de un $\alpha$ válido.

Contribuciones Clave

• Introducción de GSDSplit+: Integración de un denoiser de Paso de Gradiente basado en ICNN dentro del marco PnPSplit+ para la restauración de imágenes de Poisson.
• Convergencia Teórica: Derivación de un resultado de convergencia que vincula la propiedad FNE del denoiser con la convexidad y suavidad del potencial aprendido y el parámetro de relajación $\alpha$.
• Arquitectura y Entrenamiento a Medida: Implementación de una arquitectura ICNN específica con una activación suave personalizada y una estrategia de entrenamiento de dos etapas (denosing estándar seguido de penalización espectral del Hessiano) para promover las condiciones de suavidad necesarias.
• Validación Empírica: Provisión de evidencia de que el denoiser entrenado opera en un régimen compatible con FNE en los datos de validación cuando se elige apropiadamente $\alpha$ (por ejemplo, $\alpha = 0.9$).

Resultos
Se realizaron experimentos numéricos en los conjuntos de datos DIV2K y BSD500 con desenfoque Gaussiano y ruido de Poisson.

• Calidad de Reconstrucción: Cuando tanto GSDSplit+ como el baseline PnPSplit+ (usando un denoiser CNN estándar) se ajustan con sus parámetros óptimos de ADMM ($\gamma$), PnPSplit+ logra una relación Señal-Ruido Pico (PSNR) y un SSIM ligeramente superiores.
• Robustez a Hiperparámetros: La principal ventaja de GSDSplit+ es su estabilidad. Es sustancialmente menos sensible a la elección del parámetro de ADMM $\gamma$. Mientras que el rendimiento de PnPSplit+ se degrada significativamente (caída de aproximadamente 13.29 dB en PSNR) cuando $\gamma$ se sobreestima, GSDSplit+ muestra una degradación mínima (aproximadamente 1.50 dB).
• Generalización: El método demuestra robustez a través de diferentes operadores de desenfoque (desenfoque de movimiento, desenfoque fuera de foco) y niveles variables de ruido de Poisson.
• Costo Computacional: La robustez conlleva un precio computacional. GSDSplit+ requiere calcular el gradiente de la ICNN en cada iteración, lo que lo hace más lento que PnPSplit+, el cual utiliza un paso de propagación hacia adelante (forward pass) de una CNN estándar.

Significancia y Afirmaciones
El artículo afirma que GSDSplit+ ofrece una alternativa teóricamente fundamentada para problemas inversos de Poisson al conectar explícitamente la estructura del denoiser con garantías de convergencia. Aunque no supera en calidad de reconstrucción pico al PnPSplit+ optimizado, proporciona reconstrucciones estables incluso cuando el parámetro de ADMM es subóptimo o sobreestimado. Esta reducción de la sensibilidad al ajuste de hiperparámetros se presenta como un beneficio práctico significativo. Los autores señalan modestamente que el método opera efectivamente incluso fuera del rango estrictamente soportado empíricamente por FNE, aunque la convergencia no está garantizada en esos casos. Se sugiere como trabajo futuro extender esta estrategia a formulaciones RED-PRO e investigar estrategias adaptativas para el parámetro de relajación $\alpha$.