A Relaxed Gradient Step Denoiser for Splitting Methods in Poisson Inverse Problems

Resumo Técnico: Um Denoiser de Passo de Gradiente Relaxado para Métodos de Divisão em Problemas Inversos de Poisson

Enunciado do Problema
A restauração de imagens em campos científicos como microscopia, astronomia e imagem médica frequentemente envolve a recuperação de uma imagem limpa $x^\star$ a partir de dados observados $g$ corrompidos por um desfoque linear $H$, um fundo $b$ e ruído de Poisson. A abordagem padrão formula isso como um problema de estimativa de Máxima Posteriori (MAP), minimizando um termo de fidelidade de dados de Kullback–Leibler (KL) mais um termo de regularização. Embora os métodos Plug-and-Play (PnP) tenham alcançado sucesso significativo em configurações de ruído Gaussiano ao substituir operadores proximais por denoisers aprendidos, sua aplicação a problemas inversos de Poisson é desafiadora. A natureza não quadrática da função de fidelidade KL complica a análise de convergência, particularmente ao integrar com métodos de divisão como o PnPSplit+ que dependem de propriedades específicas do denoiser, como a Não-Expansividade Firme (FNE).

Metodologia
O artigo propõe o GSDSplit+, uma variante estruturada do algoritmo PnPSplit+ projetada para dados de Poisson. A inovação central é a substituição do bloco de denoising PnP genérico por um Denoiser de Passo de Gradiente Relaxado (GSD).

1. Estrutura Algorítmica: O método utiliza um esquema de Método de Alternância de Penalidades Aditivas (ADMM). Ao contrário do PnP padrão onde o denoiser é uma caixa preta, o GSDSplit+ define o denoiser como:
   $$D_{\vartheta, \alpha}(x) = x - \alpha \nabla \psi_\vartheta(x)$$
   Aqui, $\psi_\vartheta$ é um potencial convexo aprendido, parametrizado por uma Rede Neural Convexa de Entrada (ICNN), e $\alpha$ é um parâmetro de relaxação. Essa estrutura garante que o resíduo de denoising seja um campo de gradiente explícito, conectando esquemas de divisão com formulações de ponto fixo como o RED-PRO.

2. Condições de Convergência: A convergência do GSDSplit+ depende de o denoiser ser Firmemente Não-Expansivo (FNE). Os autores estabelecem que, se $\psi_\vartheta$ for convexo e $L$-suave, o operador $D_{\vartheta, \alpha}$ é FNE desde que $\alpha L \leq 1$. Isso permite o uso de redes com constantes de suavidade $L > 1$ através do ajuste do parâmetro de relaxação $\alpha$.

3. Estratégia de Treinamento: A ICNN é treinada usando uma perda de denoising Gaussiana residual. Para satisfazer os requisitos teóricos, o treinamento inclui:

   • Uma função de ativação suavizada (uma aproximação diferenciável de LeakyReLU) para garantir que a rede permaneça convexa e diferenciável.
   • Uma fase de ajuste fino orientada à suavidade usando uma penalidade espectral no Hessiano do potencial. Esta penalidade incentiva a constante de Lipschitz $L$ do gradiente a ser próxima de 1, facilitando a seleção de um $\alpha$ válido.

Principais Contribuições

• Introdução do GSDSplit+: Incorporação de um Denoiser de Passo de Gradiente baseado em ICNN na estrutura PnPSplit+ para restauração de imagem de Poisson.
• Convergência Teórica: Derivação de um resultado de convergência que vincula a propriedade FNE do denoiser à convexidade e suavidade do potencial aprendido e ao parâmetro de relaxação $\alpha$.
• Arquitetura e Treinamento Sob Medida: Implementação de uma arquitetura ICNN específica com uma ativação suave personalizada e uma estratégia de treinamento em dois estágios (denoising padrão seguido de penalidade espectral de Hessiano) para promover as condições de suavidade necessárias.
• Validação Empírica: Fornecimento de evidências de que o denoiser treinado opera em um regime compatível com FNE em dados de validação quando $\alpha$ é escolhido apropriadamente (ex: $\alpha = 0,9$).

Resultos
Experimentos numéricos foram conduzidos nos conjuntos de dados DIV2K e BSD500 com desfoque Gaussiano e ruído de Poisson.

• Qualidade de Reconstrução: Quando tanto o GSDSplit+ quanto o baseline PnPSplit+ (usando um denoiser CNN padrão) são ajustados com seus parâmetros ADMM ($\gamma$) ótimos, o PnPSplit+ alcança uma Relação Sinal-Ruído de Pico (PSNR) e SSIM ligeiramente superiores.
• Robustez a Hiperparâmetros: A principal vantagem do GSDSplit+ é sua estabilidade. Ele é substancialmente menos sensível à escolha do parâmetro ADMM $\gamma$. Enquanto o desempenho do PnPSplit+ degrada significativamente (queda de aproximadamente 13,29 dB no PSNR) quando $\gamma$ é superestimado, o GSDSplit+ mostra uma degradação mínima (queda de aproximadamente 1,50 dB).
• Generalização: O método demonstra robustez através de diferentes operadores de desfoque (desfoque de movimento, fora de foco) e variados níveis de ruído de Poisson.
• Custo Computacional: A robustez vem acompanhada de um preço computacional. O GSDSplit+ requer o cálculo do gradiente da ICNN em cada iteração, tornando-o mais lento que o PnPSplit+, que utiliza uma passagem direta (forward pass) de uma CNN padrão.

Significância e Alegações
O artigo afirma que o GSDSplit+ oferece uma alternativa teoricamente fundamentada para problemas inversos de Poisson ao conectar explicitamente a estrutura do denoiser às garantias de convergência. Embora não supere o PnPSplit+ otimizado em termos de qualidade de pico de reconstrução, ele fornece reconstruções estáveis mesmo quando o parâmetro ADMM é suboptimal ou superestimado. Essa redução na sensibilidade ao ajuste de hiperparâmetros é apresentada como um benefício prático significativo. Os autores observam modestamente que o método opera efetivamente mesmo fora do intervalo estritamente suportado empiricamente para FNE, embora a convergência não seja garantida nesses casos. Sugere-se como trabalho futuro a extensão desta estratégia para formulações RED-PRO e a investigação de estratégias adaptativas para o parâmetro de relaxação $\alpha$.