Nonlinear stability and instability of rotating Riesz star solutions of the compressible Euler-Riesz equations

Resumen Técnico: Estabilidad y Estabilidad No Lineal de Soluciones de Estrellas de Riesz Rotatorias de las Ecuaciones de Euler-Riesz Compresibles

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga la existencia, estabilidad no lineal e inestabilidad no lineal de soluciones de estado estacionario rotatorio, denominadas "estrellas de Riesz rotatorias", para las ecuaciones de Euler-Riesz compresibles atractivas tridimensionales (CEREs). El sistema modela fluidos compresibles con interacciones atractivas no locales gobernadas por un potencial de Riesz $\Phi_\alpha(x) = -|x|^{-\alpha}/\alpha$ para $\alpha \in (0, 3)$. El estudio se centra en configuraciones axisimétricas donde el fluido rota alrededor de un eje fijo, caracterizado por un perfil de momento angular específico. El análisis se divide en dos regímenes basados en el exponente politrópico $\gamma$: el régimen subcrítico de masa ($\gamma > \frac{3+\alpha}{3}$) y el régimen supercrítico de masa ($\frac{6}{6-\alpha} < \gamma < \frac{3+\alpha}{3}$).

Metodología
Los autores emplean un marco variacional combinado con argumentos de compacidad de concentración y análisis de escalamiento.

1. Formulación Variacional:

   • Regimen Subcrítico de Masa: Las estrellas de Riesz rotatorias se construyen como minimizadores de un funcional de energía libre $G(\varrho)$ definido sobre un conjunto de densidades axisimétricas con masa fija $M$. Este funcional incluye la energía interna, la energía cinética rotacional y la energía potencial.
   • Regimen Supercrítico de Masa: Dado que la energía libre es no acotada inferiormente en este régimen, los autores introducen un problema de minimización restringida. Definen un conjunto admisible $K$ que consiste en densidades que satisfacen una condición específica sobre la derivada de la energía bajo escalamientos que preservan la masa (específicamente $Q(\varrho)=0$ y $Q(\varrho_\lambda) > 0$ para $\lambda < 1$). Se buscan los minimizadores de un funcional modificado $S_\mu$ sobre $K$.

2. Compacidad de Concentración en la Axisimetría:
   Un desafío técnico central es adaptar el principio de compacidad de concentración de Lions al entorno axisimétrico. A diferencia del caso no rotatorio, las traslaciones en la dirección radial destruyen la axisimetría. Los autores desarrollan un marco refinado para clasificar las sucesiones minimizantes, descartando la "desaparición" (vanishing) y la "dicotomía" (dichotomy). Surge una dificultad novedosa debido al término de rotación: las sucesiones minimizantes pueden concentrarse a lo largo de anillos con radios que divergen al infinito. Los autores demuestran que, a menos que la masa permanezca concentrada cerca del origen, la energía potencial desaparece en el límite, lo que conduce a una contradicción con la estructura variacional.

3. Análisis de Escalamiento y Concavidad:
   Para abordar el régimen supercrítico de masa y la inestabilidad, el artículo analiza el comportamiento de la energía bajo escalamientos que preservan la masa $\varrho_\lambda(x) = \lambda^{3/2}\varrho(\lambda^{1/2}x)$.

   • En el caso estacionario, existe un escalamiento crítico único. En el caso rotatorio, particularmente para $\alpha \in (0, 2)$, la presencia de la energía cinética rotacional puede conducir a la no unicidad de los escalamientos críticos (hasta dos raíces distintas).
   • Los autores introducen una cantidad $\kappa(\varrho)$ para distinguir entre estas ramas. Analizan la concavidad de la energía a lo largo de estos escalamientos para identificar la rama correspondiente a los máximos locales (relevante para la existencia) y para establecer los mecanismos de inestabilidad.

4. Pruebas de Estabilidad e Inestabilidad:

   • Estabilidad: Para el régimen subcrítico, la estabilidad se demuestra mostrando que las soluciones que parten de cerca de un minimizador permanecen cerca, utilizando la no negatividad de los funcionales de energía libre relativa y la compacidad de las sucesiones minimizantes.
   • Inestabilidad: Para el régimen supercrítico, la inestabilidad se establece mediante el análisis de la concavidad de la energía libre. Los autores muestran que para datos iniciales arbitrariamente cercanos al estado estacionario pero que se encuentran en un conjunto invariante donde la energía está por debajo del valor del minimizador, el soporte de la solución crece indefinidamente.

Contribuciones Clave y Resultados

• Existencia en el Régimen Subcrítico de Masa: El artículo demuestra la existencia de soluciones de estrellas de Riesz rotatorias para leyes de presión generales bajo supuestos de subhomogeneidad en el perfil de momento angular. Se muestra que los minimizadores son continuos, axisimétricos y poseen soporte compacto.
• Estabilidad No Lineal (Subcrítico): Se establece que estas estrellas de Riesz rotatorias son no linealmente estables. Las soluciones que parten suficientemente cerca de un estado estacionario (en términos de energía libre relativa y desviación de momento) permanecen cerca para todo el tiempo, salvo por traslaciones verticales.
• Existencia en el Régimen Supercrítico de Masa: Los autores extienden la teoría al régimen supercrítico de masa, demostrando la existencia de estrellas de Riesz rotatorias para fluidos politrópicos. Este resultado se mantiene más allá del régimen de velocidad angular pequeña, una extensión significativa incluso para las ecuaciones de Euler-Poisson clásicas. La prueba requiere una condición de superhomogeneidad en el perfil de momento angular ($L(am) \le a^\omega L(m)$ con $\omega > \omega^* + \bar{\omega}$) para asegurar que el conjunto admisible sea no vacío y que los minimizadores correspondan a soluciones físicas.
• Inestabilidad No Lineal (Supercrítico): El artículo demuestra que las estrellas de Riesz rotatorias en el régimen supercrítico de masa son no linealmente inestables. Las soluciones que parten arbitrariamente cerca del estado estacionario exhiben un crecimiento ilimitado de su soporte.
• Papel de la Rotación: Los resultados resaltan que la rotación puede tener un efecto tanto estabilizador como desestabilizador dependiendo de la singularidad de la interacción de Riesz ($\alpha$) y del régimen (subcrítico vs. supercrítico). Específicamente, en el régimen supercrítico, la rotación introduce nuevas dificultades respecto a la unicidad de los escalamientos críticos, las cuales los autores resuelven mediante un análisis detallado de la concavidad del funcional de energía.

Significancia
El artículo afirma proporcionar el primer análisis exhaustivo de las estrellas de Riesz rotatorias en el régimen supercrítico de masa, extendiendo los métodos variacionales a entornos donde la energía no está acotada inferiormente. Aborda las dificultades analíticas específicas introducidas por la rotación, tales como la pérdida de las propiedades de reordenamiento radial decreciente y la emergencia de múltiples escalamientos críticos. El trabajo generaliza los resultados previos sobre estrellas no rotatorias y las ecuaciones de Euler-Poisson al entorno no local de Euler-Riesz, cubriendo un amplio rango de singularidades de interacción ($\alpha \in (0, 3)$). Los hallazgos sugieren que la estabilidad de las configuraciones estelares es altamente sensible a la interacción entre la singularidad del potencial de interacción, la ecuación de estado y la distribución del momento angular.