Nonlinear stability and instability of rotating Riesz star solutions of the compressible Euler-Riesz equations

Resumo Técnico: Estabilidade e Instabilidade Não Linear de Soluções de Estrelas de Riesz Rotativas das Equações de Euler-Riesz Compressíveis

Enunciado do Problema
Este artigo investiga a existência, estabilidade não linear e instabilidade não linear de soluções de estado estacionário rotativo, denominadas "estrelas de Riesz rotativas", para as equações de Euler-Riesz compressíveis tridimensionais atrativas (CEREs). O sistema modela fluidos compressíveis com interações atrativas não locais governadas por um potencial de Riesz $\Phi_\alpha(x) = -|x|^{-\alpha}/\alpha$ para $\alpha \in (0, 3)$. O estudo foca em configurações axissimétricas onde o fluido rotaciona em torno de um eixo fixo, caracterizado por um perfil específico de momento angular. A análise é dividida em dois regimes baseados no expoente politrópico $\gamma$: o regime subcrítico de massa ($\gamma > \frac{3+\alpha}{3}$) e o regime supercrítico de massa ($\frac{6}{6-\alpha} < \gamma < \frac{3+\alpha}{3}$).

Metodologia
Os autores empregam uma formulação variacional combinada com argumentos de compacidade de concentração e análise de escala.

1. Formulações Variacionais:

   • Regime Subcrítico de Massa: As estrelas de Riesz rotativas são construídas como minimizadores de um funcional de energia livre $G(\varrho)$ definido sobre um conjunto de densidades axissimétricas com massa fixa $M$. Este funcional inclui energia interna, energia cinética rotacional e energia potencial.
   • Regime Supercrítico de Massa: Como a energia livre é ilimitada inferiormente neste regime, os autores introduzem um problema de minimização restrito. Eles definem um conjunto admissível $K$ consistindo de densidades que satisfazem uma condição específica sobre a derivada da energia sob escalonamentos que preservam a massa (especificamente $Q(\varrho)=0$ e $Q(\varrho_\lambda) > 0$ para $\lambda < 1$). Buscam-se minimizadores de um funcional modificado $S_\mu$ sobre $K$.

2. Concentração e Compacidade em Axissimetria:
   Um desafio técnico central é adaptar o princípio de concentração e compacidade de Lions para o cenário axissimétrico. Diferente do caso não rotativo, translações na direção radial destroem a axissimetria. Os autores desenvolvem um arcabouço refinado para classificar sequências minimizantes, descartando "vanishing" (desaparecimento) e "dichotomy" (dicotomia). Uma dificuldade inédita surge do termo de rotação: sequências minimizantes podem se concentrar em anéis com raios divergindo para o infinito. Os autores provam que, a menos que a massa permaneça concentrada em torno da origem, a energia potencial desaparece no limite, levando a uma contradição com a estrutura variacional.

3. Análise de Escala e Concavidade:
   Para abordar o regime supercrítico de massa e a instabilidade, o artigo analisa o comportamento do funcional de energia sob escalonamentos que preservam a massa $\varrho_\lambda(x) = \lambda^{3/2}\varrho(\lambda^{1/2}x)$.

   • No caso estacionário, existe um escalonamento crítico único. No caso rotativo, particularmente para $\alpha \in (0, 2)$, a presença da energia cinética rotacional pode levar à não unicidade de escalonamentos críticos (até duas raízes distintas).
   • Os autores introduzem uma quantidade $\kappa(\varrho)$ para distinguir entre esses ramos. Eles analisam a concavidade da energia ao longo desses escalonamentos para identificar o ramo correspondente aos máximos locais (relevante para a existência) e para estabelecer mecanismos de instabilidade.

4. Provas de Estabilidade e Instabilidade:

   • Estabilidade: Para o regime subcrítico, a estabilidade é provada mostrando que soluções que partem próximas de um minimizador permanecem próximas, utilizando a não negatividade dos funcionais de energia livre relativa e a compacidade das sequências minimizantes.
   • Instabilidade: Para o regime supercrítico, a instabilidade é estabelecida analisando a concavidade da energia livre. Os autores mostram que, para dados iniciais arbitrariamente próximos do estado estacionário, mas que residem em um conjunto invariante onde a energia está abaixo do valor do minimizador, o suporte da solução cresce indefinidamente.

Principais Contribuições e Resultados

• Existência no Regime Subcrítico de Massa: O artigo prova a existência de soluções de estrelas de Riesz rotativas para leis de pressão gerais sob suposições de sub-homogeneidade do perfil de momento angular. Os minimizadores são mostrados como contínuos, axissimétricos e possuem suporte compacto.
• Estabilidade Não Linear (Subcrítico): Estabelece-se que estas estrelas de Riesz rotativas são não linearmente estáveis. Soluções que partem suficientemente próximas de um estado estacionário (em termos de energia livre relativa e desvio de momento) permanecem próximas para todo o tempo, até translações verticais.
• Existência no Regime Supercrítico de Massa: Os autores estendem a teoria para o regime supercrítico de massa, provando a existência de estrelas de Riesz rotativas para fluidos politrópicos. Este resultado se mantém além do regime de velocidade angular pequena, uma extensão significativa mesmo para as equações clássicas de Euler-Poisson. A prova requer uma condição de super-homogeneidade no perfil de momento angular ($L(am) \le a^\omega L(m)$ com $\omega > \omega^* + \bar{\omega}$) para garantir que o conjunto admissível seja não vazio e que os minimizadores correspondam a soluções físicas.
• Instabilidade Não Linear (Supercrítico): O artigo demonstra que as estrelas de Rês rotativas no regime supercrítico de massa são não linearmente instáveis. Soluções que partem arbitrariamente próximas do estado estacionário exibem crescimento ilimitado de seu suporte.
• Papel da Rotação: Os resultados destacam que a rotação pode ter um efeito tanto estabilizador quanto desestabilizador dependendo da singularidade da interação de Riesz ($\alpha$) e do regime (subcrítico vs. supercrítico). Especificamente, no regime supercrítico, a rotação introduz novas dificuldades relativas à unicidade dos escalonamentos críticos, as quais os autores resolvem através de uma análise detalhada da concavidade do funcional de energia.

Significância
O artigo afirma fornecer a primeira análise abrangente de estrelas de Riesz rotativas no regime supercrítico de massa, estendendo os métodos variacionais para configurações onde a energia é ilimitada inferiormente. Ele aborda as dificuldades analíticas específicas introduzidas pela rotação, como a perda das propriedades de rearranjo decrescente radial e a emergência de múltiplos escalonamentos críticos. O trabalho generaliza resultados anteriores sobre estrelas não rotativas e as equações clássicas de Euler-Poisson para o cenário não local de Euler-Riesz, cobrindo uma ampla gama de singularidades de interação ($\alpha \in (0, 3)$). Os achados sugerem que a estabilidade das configurações estelares é altamente sensível à interação entre a singularidade do potencial de interação, a equação de estado e a distribuição do momento angular.