Nonlinear stability and instability of rotating Riesz star solutions of the compressible Euler-Riesz equations

Technische Samenvatting: Nietlineaire Stabiliteit en Instabiliteit van Roterende Riesz-ster-oplossingen van de Compressibele Euler-Riesz-vergelijkingen

Probleemstelling
Dit artikel onderzoekt de existentie, nietlineaire stabiliteit en nietlineaire instabiliteit van roterende stationaire oplossingen, getiteld "roterende Riesz-sterren", voor de aantrekkende driedimensionale compressibele Euler-Riesz-vergelijkingen (CEREs). Het systeem modelleert compressibele vloeistoffen met niet-lokale aantrekkende interacties die worden beheerst door een Riesz-potentiaal $\Phi_\alpha(x) = -|x|^{-\alpha}/\alpha$ voor $\alpha \in (0, 3)$. De studie richt zich op axissymmetrische configuraties waarbij de vloeistof roteert rond een vaste as, gekenmerkt door een specifiek profiel van het impulsmoment. De analyse is verdeeld in twee regimes gebaseerd op de polytrope exponent $\gamma$: het massa-subkritische regime ($\gamma > \frac{3+\alpha}{3}$) en het massa-superkritische regime ($\frac{6}{6-\alpha} < \gamma < \frac{3+\alpha}{3}$).

Methodologie
De auteurs maken gebruik van een variationeel kader gecombineerd met concentratie-compactheidsargumenten en schaalanalyse.

1. Variationele Formulering:

   • Massa-subkritisch Regime: Roterende Riesz-sterren worden geconstrueerd als minimizers van een vrije-energiefunctionaal $G(\varrho)$ gedefinieerd over een verzameling axissymmetrische dichtheden met een vaste massa $M$. Deze functionaal bevat interne energie, rotationele kinetische energie en potentiële energie.
   • Massa-superkritisch Regime: Omdat de vrije energie in dit regime onbegrensd is van onderaf, introduceren de auteurs een geconstraineerd minimalisatieprobleem. Ze definiëren een admissible verzameling $K$ bestaande uit dichtheden die voldoen aan een specifieke conditie op de afgeleide van de energie onder massa-behoudende schalingen (specifiek $Q(\varrho)=0$ en $Q(\varrho_\lambda) > 0$ voor $\lambda < 1$). Er wordt gezocht naar minimizers van een gemodificeerde functionaal $S_\mu$ over $K$.

2. Concentratie-compactheid in Axissymmetrie:
   Een centrale technische uitdaging is het aanpassen van de concentratie-compactheidsprincipes van Lions aan de axissymmetrische setting. In tegen tegenstelling tot het niet-roterende geval, vernietigen translaties in de radiale richting de axissymmetrie. De auteurs ontwikkelen een verfijnd kader om minimaliserende sequenties te classificeren, waarbij zij "verdwijning" (vanishing) en "dichotomie" (dichotomy) uitsluiten. Een nieuw probleem ontstaat door de rotationele term: minimaliserende sequenties kunnen concentreren langs ringen met radii die naar oneindig divergeren. De auteurs bewijzen dat, tenzij de massa compact blijft rond de oorsprong, de potentiële energie in de limiet verdwijnt, wat leidt tot een contradictie met de variationele structuur.

3. Schaal- en Convexiteitsanalyse:
   Om het massa-superkritische regime en de instabiliteit aan te pakken, analyseren de auteurs het gedrag van de energiefunctionaal onder massa-behoudende schalingen $\varrho_\lambda(x) = \lambda^{3/2}\varrho(\lambda^{1/2}x)$.

   • In het stationaire geval bestaat er een unieke kritieke schaling. In het roterende geval, met name voor $\alpha \in (0, 2)$, kan de aanwezigheid van rotationele kinetische energie leiden tot niet-uniciteit van kritieke schalingen (tot twee verschillende wortels).
   • De auteurs introduceren een grootheid $\kappa(\varrho)$ om deze takken te onderscheiden. Ze analyseren de convexiteit van de energie langs deze schalingen om de tak te identificeren die overeenkomt met lokale maxima (relevant voor existentie) en om de mechanismen van instabiliteit vast te stellen.

4. Stabiliteit en Instabiliteitsbewijzen:

   • Stabiliteit: Voor het subkritische regime wordt stabiliteit bewezen door aan te tonen dat oplossingen die dicht bij een minimizer beginnen, dichtbij blijven, waarbij gebruik wordt gemaakt van de niet-negativiteit van relatieve vrije-energiefunctionalen en de compactheid van minimaliserende sequenties.
   • Instabiliteit: Voor het superkritische regime wordt instabiliteit vastgesteld door de convexiteit van de vrije energie te analyseren. De auteurs tonen aan dat voor initiële data die willekeurig dicht bij de stationaire toestand liggen, maar zich in een invariante verzameling bevinden waar de energie onder de waarde van de minimizer ligt, de ondersteuning van de oplossing onbeperkt groeit.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Existentie in het Massa-subkritische Regime: Het artikel bewijst de existentie van roterende Riesz-ster-oplossingen voor algemene drukwetten onder subhomogeniteitsaannames van het impulsmomentprofiel. De minimizers blijken continu, axissymmetrisch en voorzien van compacte ondersteuning te zijn.
• Nietlineaire Stabiliteit (Subkritisch): Er wordt vastgesteld dat deze roterende Riesz-sterren nietlineair stabiel zijn. Oplossingen die voldoende dicht bij een stationaire toestand beginnen (in termen van relatieve vrije energie en momentumafwijking), blijven voor alle tijd dichtbij, tot aan verticale translaties.
• Existentie in het Massa-superkritische Regime: De auteurs breiden de theorie uit naar het massa-superkritische regime door de existentie van roterende Riesz-sterren voor polytrope vloeistoffen te bewijzen. Dit resultaat geldt ook buiten het regime van kleine hoeksnelheid, wat een significante uitbreiding is zelfs voor de klassieke Euler-Poisson vergelijkingen. Het bewijs vereist een superhomogeniteitsconditie op het impulsmomentprofiel ($L(am) \le a^\omega L(m)$ met $\omega > \omega^* + \bar{\omega}$) om te garanderen dat de admissible verzameling niet-leeg is en de minimizers corresponderen met fysieke oplossingen.
• Nietlineaire Instabiliteit (Superkritisch): Het artikel demonstreert dat roterende Riesz-sterren in het massa-superkritische regime nietlineair instabiel zijn. Oplossingen die willekeurig dicht bij de stationaire toestand beginnen, vertonen een onbegrensde groei van hun ondersteuning.
• Rol van Rotatie: De resultaten benadrukken dat rotatie een stabiliserend of destabiliserend effect kan hebben, afhankelijk van de singulariteit van de Riesz-interactie ($\alpha$) en het regime (subkritisch versus superkritisch). Specifiek in het superkritische regime introduceert rotatie nieuwe moeilijkheden met betrekking tot de uniciteit van kritieke schalingen, die de auteurs oplossen door een gedetailleerde analyse van de convexiteit van de energiefunctionaal.

Betekenis
Het artikel claimt de eerste uitgebreide analyse te bieden van roterende Riesz-sterren in het massa-superkritische regime, waarbij variationele methoden worden uitgebreid naar settings waar de energie onbegrensd is van onderaf. Het adresseert de specifieke analytische moeilijkheden die worden geïntroduceerd door rotatie, zoals het verlies van eigenschappen van radiale afnemende herschikking en de opkomst van meerdere kritieke schalingen. Het werk generaliseert eerdere resultaten over niet-roterende sterren en de klassieke Euler-Poisson vergelijkingen naar de niet-lokale Euler-Riesz setting, waarbij een breed scala aan interactie-singulariteiten ($\alpha \in (0, 3)$) wordt gedekt. De bevindingen suggereren dat de stabiliteit van stellaire configuraties zeer gevoelig is voor de wisselwerking tussen de singulariteit van de interactiepotentiaal, de toestandsvergelijking en de distributie van het impulsmoment.