Uniform stratified vanishing and equidistribution on $\mathbb{G}_m^d$

Resumen Técnico: Desvanecimiento Estratificado Uniforme y Equidistribución en $\mathbb{G}_m^d$

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el problema de establecer cotas uniformes sobre los loci "malos" de las sumas de caracteres asociadas a haces perversos en el toro dividido de dimensión $d$, $\mathbb{G}_m^d$, sobre cuerpos finitos. Específicamente, busca demostrar un teorema de desvanecimiento genérico estratificado uniforme donde las cotas dependan únicamente de la dimensión $d$ y de la complejidad del haz (en el sentido de Sawin), en lugar de depender del cuerpo específico, su característica o el primo $\ell$.

Estos teoremas de desvanecimiento describen el locus de caracteres $\chi$ para los cuales el morfismo de olvido de soportes $R\Gamma_c(\mathbb{G}_m^d, M_\chi) \to R\Gamma(\mathbb{G}_m^d, M_\chi)$ no es un isomorfismo. Si bien el desvanecimiento genérico fue establecido previamente por Gabber–Loeser (condicionado a la resolución de singularidades) y más tarde de forma incondicional por Forey–Fresán–Kowalski (FFK), esos resultados no proporcionaban cotas cuantitativas uniformes sobre el número de caracteres de cuerpos finitos en estos loci malos.

Los autores pretenden extender los teoremas de equidistribución para estas sumas de caracteres a secuencias arbitrarias de cuerpos finitos con cardinalidad creciente, permitiendo que la característica varíe. Los resultados previos de Katz (para $d=1$) y FFK (para grupos conmutativos conexos) estaban limitados ya fuera a objetos fijos sobre extensiones variables o condicionados a cotas uniformes para toros de mayor dimensión ($d \ge 2$).

Metodología
La estrategia de la prueba se basa en tres componentes principales: una estimación de Mellin de una coordenada uniforme, inducción sobre la dimensión del toro y una deducción Tannakiana para la equidistribución.

1. Estimación de Mellin de una Coordenada Uniforme:
   La innovación técnica central es una cota cuantitativa sobre el conjunto de caracteres "excepcionales" para una sola variable multiplicativa. Al descomponer $\mathbb{G}_m^d = \mathbb{G}_m \times \mathbb{G}_m^{d-1}$, los autores analizan las imágenes directas relativas de un haz perverso torcido por un carácter del primer factor.

   • Utilizan el triángulo de localización para relacionar el fallo del morfismo de olvido de soportes con los tallos en el borde en $0$y$\infty$.
   • Estos tallos en el borde se identifican con la cohomología de la inercia continua de los complejos de ciclos cercanos relativos.
   • Utilizando el desvanecimiento de la cohomología de la inercia para el caso primo a $\ell$ (Apéndice B) y la inyectividad del mapa $\lambda \mapsto \lambda_x(\tau_x)$ (donde $\tau_x$ es un generador topológico de la inercia tame), muestran que los caracteres excepcionales corresponden a los autovalores de monodromía en estos complejos de ciclos cercanos.
   • Crucialmente, acotan el número de tales autovalores únicamente en términos de la complejidad $cu(A)$ y la dimensión $d$, evitando el uso de las alteraciones de de Jong o de la resolución de singularidades, que de otro modo introducirían constantes no uniformes.

2. Inducción sobre la Dimensión:
   Los autores prueban los teoremas principales mediante inducción sobre $d$.

   • Teorema 1.1 (Conteo de Puntos Uniforme): Para un complejo $K$, el tamaño del soporte $\Delta(K)$ del cono del morfismo de comparación de Mellin está acotado por $O(q^{n(d-1)})$. El paso inductivo utiliza la transformada de Mellin relativa para reducir el problema de dimensión $d$ a $d-1$. Para caracteres no excepcionales, el problema se reduce al caso de dimensión inferior; para caracteres excepcionales, la cota es trivial pero controlada por la complejidad.
   • Teorema 1.2 (Conteo de Puntos Estratificado): Este refina el resultado a grados cohomológicos específicos $i$. Los autores utilizan la sucesión espectral perversa para relacionar los saltos de cohomología en el grado $i$ en $\mathbb{G}_m^d$ con los saltos en los grados $i$ e $i-1$ en $\mathbb{G}_m^{d-1}$ para los haces de cohomología perversa de las imágenes directas relativas. Esto permite que la cota inductiva $O(q^{n(d-i)})$ se preserve.

3. Deducción Tannakiana:
   El resultado de equidistribución (Corolario 1.4) se deriva utilizando el formalismo Tannakiano de FFK.

   • Los autores establecen que el locus no ramificado $X(M_0)$ es genérico (Teorema 1.3) relacionándolo con el soporte $\Delta(L)$ de un objeto específico $L = M \oplus M^\vee$.
   • Utilizando el criterio de Weyl, muestran que las clases de Frobenius se equidistribuyen en el subgrupo compacto maximal del grupo Tannakiano. Las cotas uniformes de los Teoremas 1.2 y 1.3 aseguran que los caracteres "malos" (donde la cohomología es no nula en grados no nulos o donde ocurre la ramificación) son despreciables en número comparados con el total de caracteres a medida que el tamaño del cuerpo tiende al infinito.

Contribuciones y Resultados Clave

• Teorema 1.1 (Desvanecimiento Genérico Estratificado Uniforme): Demuestra que para cualquier $d \ge 1$, existe una función $\Phi_d^\Delta$ tal que para cualquier cuerpo finito $k$, cualquier primo $\ell \neq \text{char}(k)$, y cualquier complejo $K$ de complejidad acotada $C$, el número de caracteres $\chi \in \widehat{\mathbb{G}_m^d}(k_n)$ donde el morfismo de olvido de soportes no es un isomorfismo está acotado por $\Phi_d^\Delta(C) q^{n(d-1)}$.
• Teorema 1.2 (Conteo de Puntos Estratificado de Complejidad Acotada): Demuestra que para un haz perverso $A$ de complejidad $C$, el número de caracteres donde la cohomología $H^i_c$ o $H^i$ es no nula está acotado por $\Psi_d(C) q^{n(d-i)}$. Esto proporciona las cotas uniformes necesarias para los loci de desvanecimiento estratificado.
• Teorema 1.3 (Conteo de Puntos No Ramificados): Establece que el complemento del locus no ramificado para un objeto aritméticamente semisimple está acotado por $O(q^{n(d-1)})$, uniformemente en la característica y en $\ell$.
• Corolario 1.4 (Equidistribución): Demuestra un teorema de equidistribución para secuencias de haces perversos de complejidad acotada con un grupo de monodromía Tannakiano común. A medida que la cardinalidad de los cuerpos finitos tiende al infinito, las clases de Frobenius asociadas a los caracteres multiplicativos se equidistribuyen en el espacio de las clases de conjugación de un subgrupo compacto maximal del grupo Tannakiano.

Significado
El artículo afirma resolver el caso abierto de la equidistribución horizontal para toros de dimensión $d \ge 2$ dejado por Forey–Fresán–Kowalski. Si bien FFK estableció la estructura de los loci malos de forma incondicional, su teorema de equidistribución para $d \ge 2$ permanecía condicionado a cotas uniformes para estos loci. Este trabajo proporciona dichas cotas, haciendo que el teorema de equidistribución sea incondicional para $\mathbb{G}_m^d$.

Además, los resultados generalizan el teorema de equidistribución de Katz (originalmente para $d=1$) a secuencias arbitrarias de cuerpos finitos, incluyendo aquellos donde la característica varía. Las constantes en las cotas dependen únicamente de la dimensión y de la complejidad del haz (en el sentido de Sawin), asegurando la uniformidad a través de distintas características y primos $\ell$. Esta uniformidad se logra sin recurrir a la resolución de singularidades o a las alteraciones de de Jong, que típicamente producen constantes dependientes de la geometría específica de la variedad en lugar de solo su complejidad.

El trabajo unifica así la teoría del desvanecimiento genérico y la equidistribución para toros, proporcionando un marco robusto para analizar sumas exponenciales y sumas de caracteres en familias sobre cuerpos finitos variables.