Uniform stratified vanishing and equidistribution on $\mathbb{G}_m^d$

Résumé Technique : Disparition Stratifiée Uniforme et Équidistribution sur $\mathbb{G}_m^d$

Énoncé du Problème
L'article traite du problème de l'établissement de bornes uniformes sur les loci « mauvais » des sommes de caractères associées aux faisceaux pervers sur le tore scindé de dimension $d$, $\mathbb{G}_m^d$, sur des corps finis. Plus précisément, il s'agit de prouver un théorème de disparition générique stratifiée uniforme où les bornes dépendent uniquement de la dimension $d$ et de la complexité du faisceau (au sens de Sawin), plutôt que de la caractéristique spécifique du corps ou du nombre premier $\ell$.

Ces théorèmes de disparition décrivent le locus des caractères $\chi$ pour lesquels le morphisme d'oubli des supports $R\Gamma_c(\mathbb{G}_m^d, M_\chi) \to R\Gamma(\mathbb{G}_m^d, M_\chi)$ n'est pas un isomorphisme. Bien que la disparition générique ait été établie précédemment par Gabber–Loeser (sous réserve de la résolution des singularités) puis de manière inconditionnelle par Forey–Fresán–Kowalski (FFK), ces résultats n'établissaient pas de bornes quantitatives uniformes sur le nombre de caractères de corps finis dans ces mauvais loci à mesure que la cardinalité du corps croît.

Les auteurs visent à étendre les théorèmes d'équidistribution de ces sommes de caractères à des séquences arbitraires de corps finis dont la cardinalité croît, permettant ainsi de faire varier la caractéristique. Les résultats précédents de Katz (pour $d=1$) et de FFK (pour les groupes commutatifs connexes) étaient soit restreints à des objets fixes sur des extensions variables, soit conditionnels sur des bornes uniformes pour des tori de dimension supérieure ($d \ge 2$).

Méthodologie
La stratégie de preuve repose sur trois composantes principales : une estimation de Mellin à une coordonnée uniforme, une induction sur la dimension du tore, et une déduction tannakienne pour l'équidistribution.

1. Estimation de Mellin à une Coordonnée Uniforme :
   La principale innovation technique est une borne quantitative sur l'ensemble des caractères « exceptionnels » pour une seule variable multiplicative. En décomposant $\mathbb{G}_m^d = \mathbb{G}_m \times \mathbb{G}_m^{d-1}$, les auteurs analysent les images directes relatives d'un faisceau pervers tordu par un caractère du premier facteur.

• Ils utilisent le triangle de localisation pour relier l'échec du morphisme d'oubli des supports aux tiges de bord à $0$ et $\infty$.
• Ces tiges de bord sont identifiées aux cohomologies d'inertie continues des complexes de cycles proches relatifs.
• En utilisant la disparition modulo $\ell$ de la cohomologie d'inertie (Appendice B) et l'injectivité de l'application $\lambda \mapsto \lambda_x(\tau_x)$ (où $\tau_x$ est un générateur topologique de l'inertie ramifiée), ils montrent que les caractères exceptionnels correspondent aux valeurs propres de monodromie sur ces complexes de cycles proches.
• Crucialement, ils bornent le nombre de telles valeurs propres uniquement en fonction de la complexité $cu(A)$ et de la dimension $d$, évitant ainsi l'usage des altérations de de Jong ou de la résolution des singularités, qui introduiraient des constantes non uniformes.

2. Induction sur la Dimension :
   Les auteurs prouvent les théorèmes principaux par induction sur $d$.

• Théorème 1.1 (Comptage de Points Uniforme) : Pour un complexe $K$, la taille du support $\Delta(K)$ du cône du morphisme de comparaison de Mellin est bornée par $O(q^{n(d-1)})$. L'étape d'induction utilise la transformée de Mellin relative pour réduire le problème de dimension $d$ à $d-1$. Pour les caractères non exceptionnels, le problème se réduit au cas de dimension inférieure ; pour les caractères exceptionnels, la borne est triviale mais contrôlée par la complexité.
• Théorème 1.2 (Comptage de Points Stratifié) : Ce résultat affine le précédent pour des degrés cohomologiques $i$ spécifiques. Les auteurs utilisent la suite spectrale perverse pour relier les sauts de cohomologie en degré $i$ sur $\mathbb{G}_m^d$ aux sauts dans les degrés $i$ et $i-1$ sur $\mathbb{G}_m^{d-1}$ pour les faisceaux de cohomologie perverse des images directes relatives. Cela permet de préserver la borne inductive $O(q^{n(d-i)})$.

3. Déduction Tannakienne :
   Le résultat d'équidistribution (Corollaire 1.4) est dérivé en utilisant le formalisme tannakien de FFK.

• Les auteurs établissent que le locus non ramifié $X(M_0)$ est générique (Théorème 1.3) en le reliant au support $\Delta(L)$ d'un objet spécifique $L = M \oplus M^\vee$.
• En utilisant le critère de Weyl, ils montrent que les classes de conjugaison de Frobenius s'équidistribuent dans le sous-groupe compact maximal du groupe tannakien. Les bornes uniformes des Théorèmes 1.2 et 1.3 garantissent que les « mauvais » caractères (où la cohomologie est non nulle dans des degrés non nuls ou où la ramification se produit) sont négligeables en nombre par rapport au nombre total de caractères lorsque la taille du corps tend vers l'infini.

Contributions Clés et Résultats

• Théorème 1.1 (Disparition Générique Stratifiée Uniforme) : Prouve que pour tout $d \ge 1$, il existe une fonction $\Phi_d^\Delta$ telle que pour tout corps fini $k$, tout nombre premier $\ell \neq \text{char}(k)$, et tout complexe $K$ de complexité bornée $C$, le nombre de caractères $\chi \in \widehat{\mathbb{G}_m^d}(k_n)$ pour lesquels le morphisme d'oubli des supports n'est pas un isomorphisme est borné par $\Phi_d^\Delta(C) q^{n(d-1)}$.
• Théorème 1.2 (Comptage de Points à Complexité Bornée) : Prouve que pour un faisceau pervers $A$ de complexité $C$, le nombre de caractères où la cohomologie $H^i_c$ ou $H^i$ est non nulle est borné par $\Psi_d(C) q^{n(d-i)}$. Cela fournit les bornes uniformes nécessaires pour les loci de disparition stratifiée.
• Théorème 1.3 (Comptage de Points Non Ramifiés) : Établit que le complémentaire du locus non ramifié pour un objet arithmétiquement semi-simple est borné par $O(q^{n(d-1)})$, uniformément en caractéristique et en $\ell$.
• Corollaire 1.4 (Équidistribution) : Prouve un théorème d'équidistribution pour des séquences de faisceaux pervers de complexité bornée avec un groupe de monodromie tannakienne commun. À mesure que la cardinalité des corps finis tend vers l'infini, les classes de conjugaison de Frobenius attachées aux caractères multiplicatifs s'équidistribuent dans l'espace des classes de conjugaison d'un sous-groupe compact maximal du groupe tannakien.

Signification
L'article prétend résoudre le cas ouvert de l'équidistribution horizontale pour les tori de dimension $d \ge 2$ laissé par Forey–Fresán–Kowalski. Bien que FFK ait établi la structure des mauvais loci de manière inconditionnelle, leur théorème d'équidistribution pour $d \ge 2$ restait conditionnel sur des bornes uniformes pour ces loci. Cet article fournit ces bornes, rendant le théorème d'équidistribution inconditionnel pour $\mathbb{G}_m^d$.

De plus, les résultats généralisent le théorème d'équidistribution de Katz (originellement pour $d=1$) à des séquences arbitraires de corps finis, incluant ceux où la caractéristique varie. Les constantes dans les bornes dépendent uniquement de la dimension et de la complexité du faisceau (au sens de Sawin), assurant l'uniformité à travers des caractéristiques et des nombres premiers $\ell$ variables. Cette uniformité est obtenue sans recourir à la résolution des singularités ou aux altérations de de Jong, qui produisent typiquement des constantes dépendant de la géométrie spécifique de la variété plutôt que de sa simple complexité.

Ce travail unifie ainsi la théorie de la disparition générique et de l'équidistribution pour les tori, fournissant un cadre robuste pour l'analyse des sommes exponentielles et des sommes de caractères dans des familles sur des corps finis variables.