Positivity preservers over finite fields II

Resumen Técnico: Preservadores de Positividad sobre Campos Finitos II

Planteamiento del Problema
Este artículo aborda la clasificación de los preservadores de positividad elemento a elemento en el espacio de matrices $n \times n$ sobre un campo finito $\mathbb{F}_q$, denotado como $M_n(\mathbb{F}_q)$. Una matriz $A \in M_n(\mathbb{F}_q)$ se define como definida positiva si es simétrica y todos sus menores principales líderes son cuadrados no nulos en $\mathbb{F}_q$ (elementos de $\mathbb{F}_q^+$). Una función $f: \mathbb{F}_q \to \mathbb{F}_q$ es un preservador de positividad elemento a elemento si la matriz $f[A] = (f(a_{ij}))$ es definida positiva siempre que $A$ lo sea.

El trabajo previo de los autores (publicado en J. Algebra, 2025) había clasificado con éxito estos preservadores para todas las dimensiones $n \ge 3$ y para el caso $n=2$ cuando $q$ es par, $q \equiv 3 \pmod 4$, o $q$ es un cuadrado impar, pero un caso específico permaneció sin resolver:

• El Caso Abierto: $n = 2$, $q \equiv 1 \pmod 4$, y $q$ no es un cuadrado perfecto.

En el trabajo anterior, se aisló una estrategia (Proposición 5.8 en [5]) que sugería que si $f$ preserva la positividad en $M_2(\mathbb{F}_q)$, y si $f$ está normalizada de tal manera que $f(1)=1$, entonces $f$ debe ser un mapa de potencia ($f(x) = x^{p^j}$) siempre que la restricción de $f$ al conjunto de los cuadrados no nulos $\mathbb{F}_q^+$ sea inyectiva. El eslabón perdido era demostrar que esta inyectividad es automática para todos esos valores de $q$.

Metodología
Los autores resuelven el caso abierto demostrando que cualquier preservador de positividad en $M_2(\mathbb{F}_q)$ (donde $q \equiv 1 \pmod 4$) es necesariamente inyectivo en $\mathbb{F}_q^+$. La prueba emplea un enfoque novedoso que evita las complejidades estructurales de los grafos de Paley que dificultaron intentos previos para $q$ no cuadrado.

1. Reducción por Idempotencia: Los autores consideran la secuencia de iteraciones de la función $f$ (es decir, $f, f^{(2)}, f^{(3)}, \dots$). Dado que $\mathbb{F}_q$ es finito, esta secuencia eventualmente se vuelve periódica. Seleccionan una iteración $h = f^{(m)}$ tal que $h$ es un preservador de positividad idempotente (es decir, $h \circ h = h$).
2. Contradicción mediante Caracteres Cuadráticos: Asumiendo que $h$ no es inyectivo en $\mathbb{F}_q^+$, existen $a, b \in \mathbb{F}_q^+$ distintos tales que $h(a) = h(b) = s$.
   • Utilizan una propiedad conocida de los caracteres cuadráticos (Lema 2.1): para $a, b \in \mathbb{F}_q^+$ distintos, existe un no cuadrado $z \in \mathbb{F}_q^-$ tal que $a-z \in \mathbb{F}_q^+$ y $b-z \in \mathbb{F}_q^-$.
   • Construyen dos matrices definidas positivas específicas, $A_1$ y $A_2$, involucrando a $a, b, z$.
   • Al aplicar el mapa idempotente $h$ a estas matrices, derivan restricciones sobre el valor $v = h(z)$. Específicamente, la preservación de la definición positiva obliga a que $v$ sea un cuadrado ($v \in \mathbb{F}_q^+$).
   • Luego construyen una tercera matriz $C$ utilizando $v$ y $z$. Dependiendo de si $v-z$ es un cuadrado o un no cuadrado, se demuestra que $C$ es definida positiva.
   • Sin embargo, aplicar $h$ a $C$ produce una matriz singular (una matriz con determinante cero), lo cual contradice la definición de un preservador de positividad.
3. Uniformidad: Esta prueba funciona uniformemente para todo $q \equiv 1 \pmod 4$, evitando la necesidad de los argumentos de "estructura de clics" utilizados en el caso cuadrado, los cuales dependen de estructuras de subcampos que no están disponibles para órdenes no cuadrados.

Contribuciones Clave y Resultados
La contribución principal es la demostración del Teorema 1.1, que establece que para $q \equiv 1 \pmod 4$, cualquier función $f$ que preserve la definición positiva en $M_2(\mathbb{F}_q)$ se restringe a un mapa inyectivo en $\mathbb{F}_q^+$.

Este resultado, combinado con la clasificación previa en [5], conduce a la Clasificación Completa (Teorema 1.2) de los preservadores de positividad elemento a elemento para cada campo finito y cada dimensión $n$ fija:

• Caso $n=1$: $f(\mathbb{F}_q^+) \subseteq \mathbb{F}_q^+$.
• Caso $n=2$, $q$ par: $f$ es un monomio biyectivo $f(x) = cx^m$ donde $\gcd(m, q-1)=1$.
• Caso $n \ge 3$, $q$ par: $f(x) = cx^{2^j}$.
• Caso $n \ge 2$, $q$ impar: $f(x) = cx^{p^j}$ para algún $c \in \mathbb{F}_q^+$ y $0 \le j \le k-1$ (donde $q=p^k$).

Notablemente, los autores observan que en característica impar, la clasificación para la dimensión $n=2$ es idéntica a la clasificación para todas las dimensiones $n \ge 3$.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma resolver el último caso restante en la clasificación de los preservadores de positividad elemento a elemento sobre campos finitos. Al demostrar la inyectividad automática de estos mapas sobre el conjunto de los cuadrados, los autores unifican la teoría a través de todas las dimensiones y características de los campos.

La significancia del trabajo radica en:

1. Completar la Clasificación: Proporciona una respuesta definitiva a un problema que había sido resuelto parcialmente, dejando solo abierto el caso específico de $n=2$ para $q$ no cuadrado.
2. Innovación Metodológica: La prueba introduce una técnica de "reducción por idempotencia". Este enfoque logra sortear la dificultad de analizar los números de clics de los grafos de Paley de orden no cuadrado, un problema notoriamente abierto en combinatoria.
3. Unificación: Demuestra que las restricciones estructurales sobre los preservadores de positividad en la dimensión $n=2$ (para $q$ impar) no son más complejas que las de las dimensiones superiores, contrariamente a lo que se podría esperar dadas las dificultades específicas del caso $n=2$.

Los autores declaran explícitamente que su prueba no depende de la estructura especial de subcampos disponible cuando $q$ es un cuadrado, lo que hace que el resultado sea robusto para todo $q \equiv 1 \pmod 4$.