Positivity preservers over finite fields II

Resumo Técnico: Preservadores de Positividade Sobre Corpos Finitos II

Enunciado do Problema
Este artigo aborda a classificação de preservadores de positividade elemento a elemento no espaço de matrizes $n \times n$ sobre um corpo finito $\mathbb{F}_q$, denotado por $M_n(\mathbb{F}_q)$. Uma matriz $A \in M_n(\mathbb{F}_q)$ é definida como positiva definida se for simétrica e todos os seus menores principais líderes forem quadrados não nulos em $\mathbb{F}_q$ (elementos de $\mathbb{F}_q^+$). Uma função $f: \mathbb{F}_q \to \mathbb{F}_q$ é um preservador de positividade elemento a elemento se a matriz $f[A] = (f(a_{ij}))$ for positiva definida sempre que $A$ for.

Emb um trabalho anterior dos autores (publicado em J. Algebra, 2025) havia classificado com sucesso esses preservadores para todas as dimensões $n \ge 3$ e para o caso $n=2$ quando $q$ é par, $q \equiv 3 \pmod 4$, ou $q$ é um quadrado ímpar, um caso específico permaneceu não resolvido:

• O Caso Aberto: $n = 2$, $q \equiv 1 \pmod 4$, e $q$ não é um quadrado perfeito.

No trabalho anterior, uma estratégia foi isolada (Proposição 5.8 em [5]) sugerindo que, se $f$ preserva a positividade em $M_2(\mathbb{F}_q)$ com $q \equiv 1 \pmod 4$, e se $f$ for normalizada tal que $f(1)=1$, então $f$ deve ser um mapa de potência ($f(x) = x^{p^j}$) desde que a restrição de $f$ ao conjunto de quadrados não nulos $\mathbb{F}_q^+$ seja injetiva. O elo perdido era provar que essa injetividade é automática para todos esses $q$.

Metodologia
Os autores resolvem o caso aberto provando que qualquer preservador de positividade em $M_2(\mathbb{F}_q)$ (onde $q \equiv 1 \pmod 4$) é necessariamente injetivo em $\mathbb{F}_q^+$. A prova emprega uma abordagem inovadora que evita as complexidades estruturais de grafos de Paley que dificultaram tentativas anteriores para $q$ não quadrado.

1. Redução por Idempotente: Os autores consideram a sequência de iterações da função $f$ (ou seja, $f, f^{(2)}, f^{(3)}, \dots$). Como $\mathbb{F}_q$ é finito, essa sequência torna-se eventualmente periódica. Eles selecionam uma iteração $h = f^{(m)}$ tal que $h$ é um preservador de positividade idempotente (ou seja, $h \circ h = h$).
2. Contradição via Caracteres Quadráticos: Assumindo que $h$ não é injetivo em $\mathbb{F}_q^+$, existem $a, b \in \mathbb{F}_q^+$ distintos tal que $h(a) = h(b) = s$.
   • Eles utilizam uma propriedade conhecida de caracteres quadráticos (Lema 2.1): para $a, b \in \mathbb{F}_q^+$ distintos, existe um não-quadrado $z \in \mathbb{F}_q^-$ tal que $a-z \in \mathbb{F}_q^+$ e $b-z \in \mathbb{F}_q^-$.
   • Eles constroem duas matrizes específicas positivas definidas, $A_1$ e $A_2$, envolvendo $a, b, z$.
   • Ao aplicar o mapa idempotente $h$ a essas matrizes, eles derivam restrições sobre o valor $v = h(z)$. Especificamente, a preservação da positividade definida força $v$ a ser um quadrado ($v \in \mathbb{F}_q^+$).
   • Eles então constroem uma terceira matriz $C$ usando $v$ e $z$. Dependendo de $v-z$ ser um quadrado ou não-quadrado, $C$ é mostrada como sendo positiva definida.
   • No entanto, aplicar $h$ a $C$ resulta em uma matriz singular (uma matriz com determinante zero), o que contradiz a definição de um preservador de positividade.
3. Uniformidade: Esta prova funciona uniformemente para todo $q \equiv 1 \pmod 4$, contornando a necessidade de argumentos de "estrutura de clique" usados no caso do quadrado, que dependem de estruturas de subcorpos não disponíveis para ordens não quadradas.

Principais Contribuições e Resultados
A principal contribuição é a prova do Teorema 1.1, que estabelece que para $q \equiv 1 \pmod 4$, qualquer função $f$ que preserva a positividade definida em $M_2(\mathbb{F}_q)$ restringe-se a um mapa injetivo em $\mathbb{F}_q^+$.

Este resultado, combinado com a classificação anterior em [5], leva à Classificação Completa (Teorema 1.2) de preservadores de positividade elemento a elemento para cada corpo finito e para cada dimensão $n$ fixa:

• Caso $n=1$: $f(\mathbb{F}_q^+) \subseteq \mathbb{F}_q^+$.
• Caso $n=2$, $q$ par: $f$ é um monômio bijetivo $f(x) = cx^m$ onde $\gcd(m, q-1)=1$.
• Caso $n \ge 3$, $q$ par: $f(x) = cx^{2^j}$.
• Caso $n \ge 2$, $q$ ímpar: $f(x) = cx^{p^j}$ para algum $c \in \mathbb{F}_q^+$ e $0 \le j \le k-1$ (onde $q=p^k$).

Notavelmente, os autores observam que, em característica ímpar, a classificação para a dimensão $n=2$ é idêntica à classificação para todas as dimensões $n \ge 3$.

Significância e Alegações
O artigo afirma resolver o último caso restante na classificação de preservadores de positividade elemento a elemento sobre corpos finitos. Ao provar a injetividade automática desses mapas no conjunto de quadrados, os autores unificam a teoria através de todas as dimensões e características de corpo.

A significância do trabalho reside em:

1. Completar a Classificação: Fornece uma resposta definitiva para um problema que havia sido parcialmente resolvido, deixando apenas o caso específico de $n=2$ para $q$ não quadrado em aberto.
2. Inovação Metodológica: A prova introduz uma técnica de "redução por idempotente". Esta abordagem contorna com sucesso a dificuldade de analisar os números de clique de grafos de Paley de ordem não quadrada, um problema notoriamente aberto em combinatória.
3. Unificação: Demonstra que as restrições estruturais sobre preservadores de positividade na dimensão $n=2$ (para $q$ ímpar) não são mais complexas do que em dimensões superiores, contrariamente ao que se poderia esperar dadas as dificuldades específicas do caso $n=2$.

Os autores afirmam explicitamente que sua prova não depende da estrutura especial de subcorpo disponível quando $q$ é um quadrado, tornando o resultado robusto para todo $q \equiv 1 \pmod 4$.