On the Finiteness of Isolated $j$-invariants for $X_1(N)$

Resumen Técnico: Sobre la finitud de los invariantes $j$ aislados para $X_1(N)$

Planteamiento del problema
La clasificación de puntos racionales en curvas modulares $X_1(N)$ es un problema central en la geometría aritmética. Mientras que los puntos que pertenecen a familias parametrizadas infinitas (como aquellas que surgen de mapas a $\mathbb{P}^1$ o variedades abelianas) están bien comprendidos, los puntos "aislados" —aquellos que no pertenecen a tales familias— presentan una obstrucción significativa para una clasificación completa de los puntos de un grado fijo. Este artículo se centra específicamente en la colección de invariantes $j$ aislados para $X_1(N)$, definidos como los valores de $j$ de puntos aislados en $X_1(N)$ mapeados a la línea $j$, $X_1(1) \cong \mathbb{P}^1$.

La pregunta principal abordada es la Pregunta 1 (de Bourdon et al. [10]): ¿Existen solo finitos invariantes $j$ aislados de cada grado fijo? Si bien el Teorema de Uniformidad de Merel garantiza la finitud de puntos aislados de un grado fijo en cualquier $X_1(N)$ específica, esto no implica inmediatamente la finitud de los invariantes $j$ aislados a medida que $N$ varía. Este artículo investiga la relación entre esta pregunta y otras conjeturas de uniformidad en el campo y establece nuevos resultados de finitud, particularmente para curvas elípticas con invariantes $j$ racionales.

Metodología
El artículo emplea una combinación de teoría de módulos, análisis de representaciones de Galois y límites geométricos de curvas modulares.

1. Interacción de Hipótesis: El autor establece implicaciones lógicas entre cuatro hipótesis principales relativas a la uniformidad de curvas elípticas sobre cuerpos de números de grado fijo $d$:

   • Hipótesis 1: Uniformidad de Serre generalizada (suryectividad de las representaciones de Galois $p$-ádicas para $p$ grande).
   • Hipótesis 2: Finitud de los invariantes $j$ aislados de grado $d$.
   • Hipótesis 3: Límites de isogenia no-CM (finitud de puntos no-cuspidales y no-CM de grado $d$ en $X_0(N)$ para niveles $N$ grandes).
   • Hipótesis 4: Límites polinómicos refinados sobre el crecimiento del orden de torsión.
     El artículo demuestra que la Hipótesis 1 implica la Hipótesis 2 y, crucialmente, que la Hipótesis 2 implica tanto la Hipótesis 3 como la Hipótesis 4. Esto posiciona la Pregunta 1 como un refinamiento de los límites de isogenia y de torsión que carece de la fuerza total de la uniformidad de Serre generalizada.

2. Representación de Galois y Entrelazamiento: Para abordar el caso racional ($d=1$), el artículo analiza la imagen de las representaciones de Galois mod $p$ y $p$-ádicas $\rho_{E,p}$ y $\rho_{E,p^\infty}$. Utiliza resultados de clasificación para estas imágenes (por ejemplo, Mazur, Serre, Bilu, Parent, Rebolledo, Lemos) para determinar el grado de los puntos en $X_1(N)$. Una herramienta técnica clave es el análisis del "entrelazamiento" entre campos de torsión de distintos primos. El autor deriva nuevos límites inferiores en el grado de los puntos en $X_1(N)$ mediante el control de la ramificación y la contribución de los primos donde la imagen no es suryectiva (específicamente subgrupos de Cartan no divididos).

3. Gonalidad y Aislamiento: El artículo utiliza límites inferiores en la gonalidad de las curvas modulares (Abramovich) y la relación entre el grado de un punto y la genus de la curva. Si el grado de un punto excede la genus (o límites de gonalidad específicos), el punto no puede ser aislado.

Contribuciones Clave y Resultados

• Implicaciones entre Hipótesis (Teorema 9): El artículo demuestra formalmente que la finitud de los invariantes $j$ aislados (Hipótesis 2) es una condición suficiente para establecer tanto la finitud de puntos no-CM en $X_0(N)$ para niveles grandes (Hipótesis 3) como los límites polinómicos sobre el crecimiento de la torsión (Hipótesis 4).
• Finitud para invariantes $j$ racionales (Teorema 3): El principal resultado incondicional establece que existen solo finitos invariantes $j$ aislados racionales asociados con curvas modulares de la forma $X_1(p^a q^b)$, donde $p$ y $q$ son primos. Esto se logra combinando:
  • El trabajo de Lemos [39, 40] sobre la estructura de las imágenes de Galois para primos no suryectivos.
  • Resultados de ramificación de Smith [58] (Lema 3) para acotar el grado de los puntos cuando la imagen es un subgrupo de Cartan no dividido.
  • Un nuevo límite inferior en el grado de los puntos (Corolario 1) que mejora el trabajo previo del autor y Genao [11].
    La prueba demuestra que para primos suficientemente grandes, el grado de cualquier punto en $X_1(p^a q^b)$ con un invariante $j$ racional excede la genus de la curva, lo que hace que el punto no sea aislado.
• Límites de Torsión Refinados (Teoremo 4): Para curvas elípticas no-CM $E/F$ con $j(E) \in \mathbb{Q}$, el artículo demuestra que para cualquier $\epsilon > 0$, existe una constante $C_\epsilon$ tal que:
  $$\exp E(F)_{\text{tors}} \leq C_\epsilon \cdot [F:\mathbb{Q}]^{1/2 + \epsilon}$$
  $$\#E(F)_{\text{tors}} \leq C_\epsilon \cdot [F:\mathbb{Q}]^{1 + \epsilon}$$
  Esto mejora el exponente del límite de grado por un factor de raíz cuadrada en comparación con resultados previos [11, 18]. Se muestra que el exponente $1/2$ para el exponente del grupo de torsión es casi óptimo.
• Datos Experimentales y Clasificación: El artículo proporciona una tabla exhaustiva de los invariantes $j$ no-CM aislados conocidos de grado $\leq 10$, justificando su aislamiento mediante cálculos de rango de Jacobiano y límites de gonalidad.

Significado y Pretensiones
El artículo sostiene que la Pregunta 1 sirve como un "refinamiento" crítico de los problemas de uniformidad más amplios en el campo. Al establecer que la finitud de los invariantes $j$ aislados implica límites fuertes sobre isogenias y torsión, el trabajo sugiere que atacar la finitud de estos puntos específicos es una vía viable para resolver conjeturas más generales.

Los resultados para invariantes $j$ racionales representan un paso significativo hacia una clasificación completa, ya que eliminan la posibilidad de familias infinitas de invariantes $j$ aislados para curvas con niveles de la forma $p^a q^b$. El autor señala que, si bien el control actual sobre el "entrelazamiento" (la interacción entre campos de torsión de distintos primos) es insuficiente para probar la Hipótesis 2 incondicionalmente para todos los invariantes $j$ racionales, los datos experimentales sugieren que el problema puede ser accesible mediante argumentos de inmersión formal, particularmente porque las "curvas modulares de entrelazamiento" relevantes suelen poseer cocientes de rango 0 no triviales, a diferencia de los productos fibrados de las curvas modulares estándar.

El artículo concluye que, aunque la finitud total de los invariantes $j$ aislados sigue abierta, los métodos desarrollados aquí logran refinar con éxito los límites conocidos de la torsión para invariantes $j$ racionales y clarifican el panorama lógico que conecta estos problemas de uniformidad.