On the Finiteness of Isolated $j$-invariants for $X_1(N)$

Résumé technique : Sur la finitude des invariants $j$ isolés pour $X_1(N)$

Énoncé du problème
La classification des points rationnels sur les courbes modulaires $X_1(N)$ est un problème central de la géométrie arithmétique. Si les points appartenant à des familles paramétrées infinies (telles que celles issues de cartes vers $\mathbb{P}^1$ ou des variétés abéliennes) sont bien compris, les points « isolés » — ceux qui n'appartiennent pas à de telles familles — présentent une obstruction significative à une classification complète des points de degré fixé. Cet article se concentre spécifiquement sur la collection des invariants $j$ isolés pour $X_1(N)$, définis comme les valeurs de $j$ des points isolés sur $X_1(N)$ projetés sur la droite $j$, soit $X_1(1) \cong \mathbb{P}^1$.

La question principale abordée est la Question 1 (de Bourdon et al. [10]) : Existe-t-il seulement un nombre fini d'invariants $j$ isolés de chaque degré fixé ? Bien que le théorème d'uniformité de Merel garantisse un nombre fini de points isolés de degré fixé pour toute $X_1(N)$ donnée, cela n'implique pas immédiatement la finitude des invariants $j$ isolés lorsque $N$ varie. Cet article étudie la relation entre cette question et d'autres conjectures d'uniformité dans le domaine, et établit de nouveaux résultats de finitude, particulièrement pour les courbes elliptiques avec des invariants $j$ rationnels.

Méthodologie
L'article emploie une combinaison de théorie des modules, d'analyse de représentations de Galois et de bornes géométriques sur les courbes modulaires.

1. Interaction des hypothèses : L'auteur établit des implications logiques entre quatre hypothèses majeures concernant l'uniformité des courbes elliptiques sur les corps de nombres de degré fixe $d$ :

   • Hypothèse 1 : Uniformité de Serre généralisée (surjectivité des représentations de Galois $p$-adiques pour de grands $p$).
   • Hypothèse 2 : Finitude des invariants $j$ isolés de degré $d$.
   • Hypothèse 3 : Bornes d'isogénie non-CM (finitude des points non-cuspidaux, non-CM de degré $d$ sur $X_0(N)$ pour de grands $N$).
   • Hypothèse 4 : Bornes polynomiales raffinées sur la croissance du torsion.
     L'article prouve que l'Hypothèse 1 implique l'Hypothèse 2, et surtout, que l'Hypothèse 2 implique à la fois l'Hypothèse 3 et l'Hypothèse 4. Cela positionne la Question 1 comme un raffinement des bornes d'isogénie et de torsion qui ne possède pas la pleine force de l'uniformité de Serre généralisée.

2. Représentation de Galois et enchevêtrement : Pour traiter le cas rationnel ($d=1$), l'article analyse l'image des représentations de Galois mod $p$ et $p$-adiques $\rho_{E,p}$ et $\rho_{E,p^\infty}$. Il utilise les résultats de classification pour ces images (par exemple, Mazur, Serre, Bilu, Parent, Rebolledo, Lemos) pour déterminer le degré des points sur $X_1(N)$. Un outil technique clé est l'analyse de « l'enchevêtrement » (entanglement) entre les corps de torsion de primes distincts. L'auteur dérive de nouvelles bornes inférieures sur le degré des points sur $X_1(N)$ en contrôlant la ramification et la contribution des primes où l'image n'est pas surjective (spécifiquement les sous-groupes de Cartan non-scindés).

3. Gonnalité et isolement : L'article utilise les bornes inférieures sur la gonnalité des courbes modulaires (Abramovich) et la relation entre le degré d'un point et le genre de la courbe. Si le degré d'un point dépasse le genre (ou des bornes de gonnalité spécifiques), le point ne peut être isolé.

Contributions clés et résultats

• Implications entre les hypothèses (Théorème 9) : L'article prouve formellement que la finitude des invariants $j$ isolés (Hypothèse 2) est une condition suffisante pour établir à la fois la finitude des points non-CM sur $X_0(N)$ pour de grands niveaux (Hypothèse 3) et les bornes polynomiales sur la croissance du torsion (Hypothèse 4).
• Finitude pour les invariants $j$ rationnels (Théorème 3) : Le principal résultat inconditionnel établit qu'il n'existe que finiment d'invariants $j$ isolés rationnels associés aux courbes modulaires de la forme $X_1(p^a q^b)$, où $p$ et $q$ sont des nombres premiers. Ceci est réalisé en combinant :
  • Les travaux de Lemos [39, 40] sur la structure des images de Galois pour les primes non-surjectives.
  • Les résultats de ramification de Smith [58] (Lemme 3) pour borner le degré des points lorsque l'image est un sous-groupe de Cartan non-scindé.
  • Une nouvelle borne inférieure sur le degré des points (Corollaire 1) qui améliore les travaux précédents de l'auteur et de Genao [11].
    La preuve démontre que pour des nombres premiers suffisamment grands, le degré de tout point sur $X_1(p^a q^b)$ possédant un invariant $j$ rationnel excède le genre de la courbe, rendant le point non-isolé.
• Bornes de torsion affinées (Théorème 4) : Pour les courbes elliptiques non-CM $E/F$ avec $j(E) \in \mathbb{Q}$, l'article prouve que pour tout $\epsilon > 0$, il existe une constante $C_\epsilon$ telle que :
  $$\exp E(F)_{\text{tors}} \leq C_\epsilon \cdot [F:\mathbb{Q}]^{1/2 + \epsilon}$$
  $$\#E(F)_{\text{tors}} \leq C_\epsilon \cdot [F:\mathbb{Q}]^{1 + \epsilon}$$
  Ceci améliore l'exposant de la borne de degré d'un facteur racine carrée par rapport aux résultats précédents [11, 18]. L'exposant $1/2$ pour l'exposant du groupe de torsion est montré comme étant presque optimal.
• Données expérimentales et classification : L'article fournit un tableau complet des invariants $j$ non-CM isolés connus de degré $\leq 10$, justifiant leur isolement via des calculs de rang de Jacobienne et des bornes de gonnalité.

Signification et affirmations
L'article affirme que la Question 1 sert de « raffinement » critique des problèmes d'uniformité plus larges dans le domaine. En établissant que la finitude des invariants $j$ isolés implique des bornes fortes sur les isogénies et le torsion, ce travail suggère que s'attaquer à la finitude de ces points spécifiques est une voie viable pour résoudre des conjectures plus larges.

Les résultats pour les invariants $j$ rationnels représentent une étape significative vers une classification complète, car ils éliminent la possibilité de familles infinies d'invariants $j$ isolés pour les courbes avec des niveaux de la forme $p^a q^b$. L'auteur note que bien que le contrôle actuel sur « l'enchevêtrement » (l'interaction entre les corps de torsion de primes distincts) soit insuffisant pour prouver l'Hypothèse 2 inconditionnellement pour tous les invariants $j$ rationnels, les données expérimentales suggèrent que le problème pourrait être accessible via des arguments d'immersion formelle, notamment parce que les « courbes modulaires d'enchevêtrement » pertinentes possèdent souvent des quotients de rang 0 non triviaux, contrairement aux produits fibrés de courbes modulaires standards.

L'article conclut que bien que la finitude totale des invariants $j$ isolés reste ouverte, les méthodes développées ici parviennent à affiner les bornes connues sur le torsion pour les invariants $j$ rationnels et clarifient le paysage logique reliant ces problèmes d'uniformité.