Positive energy from timelike singularities

Resumen Técnico: Energía Positiva de Singularidades de Tipo Temporal

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el desafío de definir y calcular la energía gravitacional en espaciotiempos que contienen singularidades de tipo temporal (timelike), específicamente dentro de soluciones de Anti-de Sitter (AdS) asintóticamente y de Einstein asintóticamente planas. Si bien es ampliamente aceptado que las singularidades requieren una resolución mediante física ultravioleta, su presencia en la relatividad general clásica plantea problemas para la estabilidad. Específicamente, soluciones como agujeros negros con masas negativas o espaciotiempos con singularidades temporales desnudas pueden dar lugar a energías arbitrariamente negativas si la singularidad se suaviza. Esto plantea preocupaciones respecto a la existencia de un estado fundamental estable en cualquier teoría cuántica correspondiente. El problema central es determinar si existe una definición consistente de energía para estos espaciotiempos que tome en cuenta la contribución de la singularidad, evitando así estados de energía negativa no físicos.

Metodología
El autor propone un método para calcular la energía gravitacional total de espaciotiempos con invariancia de traslación temporal que poseen singularidades temporales, modificando la definición del Hamiltoniano on-shell formulada originalmente por Hawking y Horowitz [1]. Esta definición, que se alinea con las expresiones de Abbott-Deser [2] y ADM [3], se adapta para manejar la singularidad mediante un procedimiento de regularización:

1. Regulación: Se introduce una frontera de corte reguladora de tipo temporal, $\Sigma_\epsilon$, que encierra la singularidad. Esta superficie es compatible con una foliación del espaciotiempo en cortes de tiempo constante $\{\Sigma_t\}$.
2. Descomposición de la Frontera: La frontera del espaciotiempo regulado consiste en la frontera asintótica ($\Sigma_\infty$), los cortes de tiempo inicial y final, y la frontera reguladora cerca de la singularidad ($\Sigma_\epsilon$).
3. Cálculo de la Energía: La energía total $E$ se calcula como la suma de dos contribuciones distintas:
   • $E_\infty$: La contribcción de la frontera asintótica.
   • $E_{sing}$: La contribución de la frontera cerca de la singularidad ($\Sigma_\epsilon$).
4. Procedimiento de Límite: Los cálculos se realizan en un valor finito del regulador $\epsilon$. La energía final se obtiene tomando el límite donde el regulador se aproxima a la singularidad (por ejemplo, $\epsilon \to z_0$ o $\epsilon \to \infty$, dependiendo del sistema de coordenadas).

El método se aplica a tres familias específicas de soluciones:

• Métricas asintóticamente AdS con singularidades temporales de tipo Kasner (eones de Kasner-AdS).
• Espacios asintóticamente AdS que incluyen agujeros negros planares con "masas negativas".
• Métricas de Schwarzschild con masas positivas y negativas en espacio asintóticamente plano.

Contribuciones Clave y Resultados

1. Soluciones AdS-Kasner:

   • El estudio analiza una familia de soluciones radiales estáticas en $n+1$ dimensiones caracterizadas por parámetros de Kasner $p_a$.
   • Se encuentra que la contribución asintótica $E_\infty$ puede ser arbitrariamente negativa para ciertos rangos del parámetro $p_0$.
   • Crucialmente, la contribución de la singularidad, $E_{sing}$, es siempre finita, positiva y bien definida (independiente de la superficie reguladora específica utilizada).
   • Para todas las soluciones de esta familia que poseen una singularidad temporal, la energía total $E = E_\infty + E_{sing}$ es estrictamente positiva.
   • El solitón de AdS y el agujero negro planar de AdS se identifican como los únicos límites no singulares en esta familia; el solitón retiene energía negativa relativa al espacio AdS, mientras que el agujero negro tiene energía positiva.

2. Agujeros Negros de AdS con "Masas Negativas":

   • Para una familia de soluciones de AdS con $f(z) = 1 + \bar{z}^n$ (que representa parámetros de masa negativa), se encuentra que la contribución asintótica $E_\infty$ es también arbitrariamente negativa.
   • La contribución de la singularidad $E_{sing}$ es positiva y compensa exactamente el término asintótico negativo.
   • La solución de energía mínima corresponde al agujero negro con masa negativa, el cual posee la misma energía total que el fondo de AdS puro (energía relativa cero).

3. Métricas de Schwarzschild (Masa Positiva y Negativa):

   • En el caso asintóticamente plano, el agujero negro de Schwarzschild de masa positiva produce una energía positiva relativa al espacio de Minkowski, derivada únicamente de $E_\infty$.
   • Para el caso de masa negativa ($m < 0$), no hay horizonte de eventos, solo una singularidad temporal en $r=0$.
   • Aquí, tanto $E_\infty$ como $E_{sing}$ contribuyen. El término asintótico es negativo, mientras que el término de la singularidad es positivo.
   • La suma $E = E_\infty + E_{sing}$ se anula, implicando que un agujero negro de Schwarzschild con masa negativa tiene la misma energía que el espacio de Minkowski. A diferencia de los casos de AdS, la contribución del fondo de referencia es necesaria aquí para asegurar que ambos términos permanezcan finitos.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo sostiene que la contribución de energía de una singularidad temporal es finita y positiva, depende de la geometría local y es suficiente para que la energía gravitacional total sea no negativa en todos los casos examinados que contienen tales singularidades. En la mayoría de los casos, esto resulta en una energía total estrictamente positiva; sin embargo, soluciones de energía mínima específicas (como el agujero negro de AdS de masa negativa y el agujero negro de Schwarzschild de masa negativa) arrojan una energía total de cero relativa a sus respectivos fondos. Este resultado respalda la visión de que las singularidades temporales son necesarias para eliminar soluciones de energía negativa regular no físicas.

El autor enfatiza que, sin incluir la contribución de la singularidad, se encontrarían campos gravitatorios con energía arbitrariamente negativa, lo que probablemente impediría un estado fundamental estable en una teoría cuántica. El análisis posiciona la energía gravitacional como una sonda para las singularidades, trazando un paralelo con trabajos recientes sobre complejidad holográfica en la correspondencia AdS/CFT, donde técnicas de regularización similares se utilizan para mostrar que las singularidades contribuyen positivamente a la complejidad de la acción. El artículo concluye que las geometrías con singularidades temporales no son candidatas para estados fundamentales estables en ausencia de estas contribuciones de energía positiva, reforzando la necesidad de la singularidad para la consistencia de la teoría clásica.