Positive energy from timelike singularities

Resumo Técnico: Energia Positiva de Singularidades do Tipo Timelike

Definição do Problema
O artigo aborda o desafio de definir e calcular a energia gravitacional em espaços-tempos que contêm singularidades do tipo timelike (tipo tempo), especificamente em soluções assintoticamente Anti-de Sitter (AdS) e assintoticamente planas às equações de Einstein. Embora seja amplamente aceito que as singularidades requerem resolução via física ultravioleta, sua presença na relatividade geral clássica impõe problemas de estabilidade. Especificamente, soluções como buracos negros com massas negativas ou espaços-tempos com singularidades timelike nuas podem gerar energia arbitrariamente negativa se a singularidade for suavizada. Isso levanta preocupações relativas à existência de um estado fundamental estável em qualquer teoria quântica correspondente. O problema central é determinar se existe uma definição consistente de energia para esses espaços-tempos que leve em conta a contribuição da singularidade, de modo a prevenir estados de energia negativa não físicos.

Metodologia
O autor propõe um método para calcular a energia gravitacional total de espaços-tempos com invariância de translação temporal contendo singularidades timelike, modificando a definição do Hamiltoniano on-shell originalmente formulada por Hawking e Horowitz [1]. Esta definição, que se alinha com as expressões de Abbott-Deser [2] e ADM [3], é adaptada para lidar com a singularidade através de um procedimento de regularização:

1. Regulamentação: Uma fronteira de corte (cut-off) reguladora do tipo timelike, $\Sigma_\epsilon$, é introduzida para envolver a singularidade. Esta superfície é compatível com uma foliação do espaço-tempo em fatias de tempo constante $\{\Sigma_t\}$.
2. Decomposição da Fronteira: A fronteira regulada do espaço-tempo consiste na fronteira assintótica ($\Sigma_\infty$), nas fatias de tempo inicial e final, e na fronteira reguladora próxima à singularidade ($\Sigma_\epsilon$).
3. Cálculo de Energia: A energia total $E$ é calculada como a soma de duas contribuições distintas:
   • $E_\infty$: A contribuição da fronteira assintótica.
   • $E_{sing}$: A contribuição da fronteira próxima à singularidade ($\Sigma_\epsilon$).
4. Procedimento de Limite: Os cálculos são realizados em um valor finito do regulador $\epsilon$. A energia final é obtida tomando o limite onde o regulador se aproxima da singularidade (por exemplo, $\epsilon \to z_0$ ou $\epsilon \to \infty$, dependendo do sistema de coordenadas).

O método é aplicado a três famílias específicas de soluções:

• Métricas assintoticamente AdS com singularidades timelike do tipo Kasner (éons de Kasner-AdS).
• Espaços assintoticamente AdS que incluem buracos negros planares com "massas negativas".
• Métricas de Schwarzschild com massas positivas e negativas em espaço assintoticamente plano.

Principais Contribuições e Resultados

1. Soluções AdS-Kasner:

   • O estudo analisa uma família de soluções radiais estáticas em $n+1$ dimensões caracterizadas por parâmetros de Kasner $p_a$.
   • Observa-se que a contribuição assintótica $E_\infty$ pode ser arbitrariamente negativa para certos intervalos do parâmetro $p_0$.
   • Crucialmente, a contribuição da singularidade, $E_{sing}$, é sempre finita, positiva e bem definida (independente da superfície reguladora específica utilizada).
   • Para todas as soluções nesta família que possuem uma singularidade timelike, a energia total $E = E_\infty + E_{sing}$ é estritamente positiva.
   • O sóliton AdS e o buraco negro planar AdS são identificados como os únicos limites não singulares nesta família; o sóliton retém energia negativa em relação ao AdS, enquanto o buraco negro possui energia positiva.

2. Buracos Negros AdS com "Massas Negativas":

   • Para uma família de soluções AdS com $f(z) = 1 + \bar{z}^n$ (representando parâmetros de massa negativa), a contribuição assintótica $E_\infty$ é também encontrada como arbitrariamente negativa.
   • A contribuição da singularidade $E_{sing}$ é positiva e compensa exatamente o termo assintótico negativo.
   • A solução de energia mínima corresponde ao buraco negro com massa negativa, que possui a mesma energia total que o fundo (background) AdS puro (energia relativa zero).

3. Métricas de Schwarzschild (Massa Positiva e Negativa):

   • No caso assintoticamente plano, o buraco negro de Schwarzschild de massa positiva produz uma energia positiva em relação ao espaço de Minkowski, derivada exclusivamente de $E_\infty$.
   • Para o caso de massa negativa ($m < 0$), não há horizonte de eventos, apenas uma singularidade timelike em $r=0$.
   • Aqui, tanto $E_\infty$ quanto $E_{sing}$ contribuem. O termo assintótico é negativo, enquanto o termo da singularidade é positivo.
   • A soma $E = E_\infty + E_{sing}$ anula-se, implicando que um buraco negro de Schwarzschild com massa negativa possui a mesma energia que o espaço de Minkowski. Diferente dos casos AdS, a contribuição do fundo de referência é necessária aqui para garantir que ambos os termos permaneçam finitos.

Significância e Alegações
O artigo alega que a contribuição de energia da singularidade timelike é finita e positiva, dependente da geometria local, e suficiente para tornar a energia gravitacional total não negativa em todos os casos examinados que contêm tais singularidades. Na maioria das instâncias, isso resulta em uma energia total estritamente positiva; no entanto, soluções específicas de energia mínima (como o buraco negro AdS de massa negativa e o buraco negro de Schwarzschild de massa negativa) resultam em uma energia total de zero em relação aos seus respectivos fundos. Este resultado apoia a visão de que as singularidades timelike são necessárias para eliminar soluções regulares de energia negativa não físicas.

O autor enfatiza que, sem incluir a contribuição da singularidade, encontrar-se-ia com campos gravitacionais de energia arbitrariamente negativa, o que provavelmente impediria um estado fundamental estável em uma teoria quântica. A análise posiciona a energia gravitacional como uma sonda para singularidades, traçando um paralelo com trabalhos recentes sobre complexidade holográfica na correspondência AdS/CFT, onde técnicas de regularização semelhantes são usadas para mostrar que as singularidades contribuem positivamente para a complexidade da ação. O artigo conclui que geometrias com singularidades timelike não são candidatas a estados fundamentais estáveis na ausência dessas contribuições de energia positiva, reforçando a necessidade da singularidade para a consistência da teoria clássica.