Positive energy from timelike singularities

技术摘要：类时奇点产生的正能量

问题陈述
本文旨在解决在包含类时奇点的时空中，如何定义和计算引力能量的问题，特别是在渐近反德西特（AdS）以及渐近平坦的爱因斯坦方程解中。虽然广泛接受奇点需要通过紫外物理进行解决，但它们在经典广义相对论中的存在会对稳定性带来问题。例如，具有负质量的黑洞或具有裸类时奇点的时空，如果将奇点平滑化，可能会产生任意大的负能量。这引发了关于其对应的量子理论中是否存在稳定基态的担忧。核心问题在于，是否存在一种一致的能量定义，能够考虑到奇点的贡献，从而防止不物理的负能量状态。

方法论
作者提出了一种计算具有类时奇点的时移不变时空总引力能量的方法，该方法通过修改由 Hawking 和 Horowitz [1] 最初提出的对壳哈密顿量定义。该定义与 Abbott-Deser [2] 和 ADM [3] 的表达式相一致，并通过正则化程序来处理奇点：

1. 正则化： 引入一个类时正则化截断边界 $\Sigma_\epsilon$ 来包围奇点。该曲面与时空由常时间切片 $\{\Sigma_t\}$ 构成的叶状结构相兼容。
2. 边界分解： 正则化后的时空边界由渐近边界 ($\Sigma_\infty$)、初始和最终时间切片以及靠近奇点的正则化边界 ($\Sigma_\epsilon$) 组成。
3. 能量计算： 总能量 $E$ 的计算是两个不同贡献之和：
   • $E_\infty$：来自渐近边界的贡献。
   • $E_{sing}$：来自奇点附近边界 ($\Sigma_\epsilon$) 的贡献。
4. 极限程序： 在有限的正则化参数 $\epsilon$ 值下进行计算。最终能量通过取正则化器趋向于奇点（例如，取决于坐标系，$\epsilon \to z_0$ 或 $\epsilon \to \infty$）的极限来获得。

该方法被应用于三类特定的解：

• 具有 Kasner 型类时奇点的渐近 AdS 度规（AdS-Kasner eons）。
• 包含“负质量”平面黑洞的渐近 AdS 空间。
• 渐近平坦空间中具有正质量和负质量的 Schwarzschild 度规。

主要贡献与结果

1. AdS-Kasner 解：

   • 研究分析了一类在 $n+1$ 维中以 Kasner 参数 $p_a$ 表征的静态径向解。
   • 研究发现，对于某些 $p_0$ 的参数范围，渐近贡献 $E_\infty$ 可以是任意负的。
   • 至关重要的是，来自奇点的贡献 $E_{sing}$ 始终是有限、正值且定义良好的（独立于所使用的特定正则化曲面）。
   • 对于该族中所有拥有类时奇点的解，总能量 $E = E_\infty + E_{sing}$ 严格大于零。
   • AdS 孤子和 AdS 平面黑洞被确定为该族中仅有的非奇异极限；孤子相对于 AdS 空间保持负能量，而黑洞则具有正能量。

2. 具有“负质量”的 AdS 黑洞：

   • 对于一类具有 $f(z) = 1 + \bar{z}^n$（代表负质量参数）的 AdS 解，其渐近贡献 $E_\infty$ 同样被发现是任意负的。
   • 奇点贡献 $E_{sing}$ 是正的，并且精确地补偿了负的渐近项。
   • 最小能量解对应于具有负质量的黑洞，其总能量与纯 AdS 背景具有相同的能量（相对能量为零）。

3. Schwarzschild 度规（正质量与负质量）：

   • 在渐近平坦的情况下，正质量 Schwarzschild 黑洞相对于闵可夫斯基空间产生正能量，该能量完全由 $E_\infty$ 导出。
   • 对于负质量情况 ($m < 0$)，不存在事件视界，只有一个位于 $r=0$ 的类时奇点。
   • 在此情况下，$E_\infty$ 和 $E_{sing}$ 均有贡献。渐近项为负，而奇点项为正。
   • 两者之和 $E = E_\infty + E_{sing}$ 为零，这意味着负质量 Schwarzschild 黑洞具有与闵可夫斯基空间相同的能量。与 AdS 情况不同，必须引入参考背景贡献才能确保两项都保持有限。

意义与主张
本文声称，来自类时奇点的能量贡献是有限且正的，取决于局部几何，并足以使所有经检验的包含此类奇点的案例中的总引力能量保持非负。在大多数情况下，这导致严格的正总能量；然而，特定的最小能量解（如负质量 AdS 黑洞和负质量 Schwarzschild 黑洞）相对于其各自的背景产生零的总能量。这一结果支持了以下观点：类时奇点对于消除不物理的正则负能量解是必要的。

作者强调，如果不包括奇点的贡献，将会遇到具有任意负能量的引力场，这可能会阻碍量子理论中稳定基态的存在。该分析将引力能量定位为探测奇点的手段，并与近期在 AdS/CFT 对偶中的全息复杂度研究工作相类比，在那些工作中，类似的正则化技术被用来展示奇点对作用量复杂度的贡献是正向的。文章得出结论，在缺乏这些正能量贡献的情况下，具有类时奇点的几何体不是稳定基态的候选者，这强化了奇点对于经典理论一致性的必要性。