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Hamilton-Jacobi Reachability for Hybrid Systems: Unified Goal-Driven Control with Safety Guarantees

Este artículo extiende el análisis de alcanzabilidad de Hamilton-Jacobi a sistemas dinámicos híbridos mediante la introducción de un marco unificado que computa conjuntos seguros e integra objetivos de desempeño a través de filtros de seguridad de menor restricción y tubos de retroceso de alcance-evitación, garantizando así tanto la seguridad como la completitud de la tarea para sistemas robóticos en entornos ricos en contacto.

Autores originales: Javier Borquez, Shuang Peng, Somil Bansal

Publicado 2026-09-16

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CC BY 4.0

Autores originales: Javier Borquez, Shuang Peng, Somil Bansal

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Los robots que se mueven a través del mundo real enfrentan un desafío fundamental: sus acciones rara vez son suaves y continuas. Un perro corriendo por un parque, una nave espacial acoplándose a una estación o un dron aterrizando en un barco experimentan cambios repentinos en su forma de moverse. Pueden estar deslizándose sobre ruedas y luego, de repente, saltar en el aire, o pasar de un planeo suave a un impacto fuerte. En términos de ingeniería, estos sistemas son "híbridos", lo que significa que combinan un movimiento fluido y continuo con saltos bruscos y discretos de un modo de operación a otro. Para que un robot sea útil y seguro, no solo debe navegar estos cambios, sino también garantizar que nunca caiga en una trampa de la que no pueda escapar. Esto requiere una forma de mirar hacia adelante y saber, con absoluta certeza, qué caminos son seguros y cuáles conducen al fracaso, incluso cuando el entorno del robot es impredecible.

Durante décadas, los ingenieros han utilizado una poderosa herramienta matemática llamada alcanzabilidad de Hamilton-Jacobi para resolver este problema para sistemas suaves. Este método permite a una computadora calcular una "zona segura", un mapa de cada posición inicial posible desde la cual un robot puede evitar un choque, sin importar cómo sople el viento o cómo se mueva el suelo. Sin embargo, esta herramienta falló al aplicarse a sistemas híbridos. Los saltos repentinos entre modos, como el pie de un robot golpeando el suelo, crearon una complejidad que la vieja matemática no podía manejar. Sin una forma de calcular estas zonas seguras para sistemas híbridos, los ingenieros se veían obligados a adivinar o confiar en el ensayo y error, dejando a los robots vulnerables a fallos inesperados en entornos complejos.

Un equipo de investigadores ha cerrado esta brecha extendiendo el método de alcanzabilidad para manejar estos sistemas híbridos. Desarrollaron un nuevo marco que puede calcular zonas seguras para robots que cambian entre diferentes comportamientos, como caminar, saltar o volar. Su trabajo hace dos cosas distintas. Primero, crearon un filtro de seguridad que actúa como un supervisor vigilante. Este filtro observa la trayectoria planeada de un robot y solo interviene cuando un movimiento planeado conduciría a un choque. Si el robot intenta saltar hacia una pared, el filtro ajusta suavemente el plan hacia una alternativa segura, pero si el plan ya es seguro, deja que el robot proceda exactamente como pretendía. Esto asegura que el robot se mantenga seguro sin obligarlo a moverse de manera torpe o innecesaria. Segundo, desarrollaron un método para planificar no solo la seguridad, sino también el éxito. Este nuevo enfoque calcula una ruta que garantiza que el robot alcanzará su objetivo, como un puerto de acoplamiento o una línea de meta, mientras evita simultáneamente todos los obstáculos. Encuentra una ruta que es tanto segura como efectiva, incluso cuando el robot debe cambiar entre diferentes modos de movimiento para llegar allí.

Para probar que sus ideas funcionan, los investigadores probaron su sistema en un robot cuadrúpedo en un desafiante circuito de obstáculos inspirado en las competencias de agilidad canina. El circuito incluía postes de tejido estrecho, pendientes pronunciadas, voladizos bajos que requerían que el robot gateara y terreno resbaladizo. El robot tuvo que navegar por todo este circuito sin golpear nada. Los investigadores ejecutaron el robot utilizando dos sistemas de control de bajo nivel diferentes: uno basado en ecuaciones físicas tradicionales y otro basado en el aprendizaje de inteligencia artificial. En ambos casos, el planificador de alto nivel guio con éxito al robot a través del circuito. Cuando el robot se acercaba a un voladizo bajo, el planificador cambiaba automáticamente su modo a una marcha de gateo para evitar golpearse la cabeza. Cuando llegaba a un parche resbaladizo, cambiaba a una marcha más rápida para mantener la tracción. El sistema manejó estos cambios de manera fluida, asegurando que el robot nunca entrara en un estado peligroso.

Los experimentos demostraron que el nuevo método es robusto incluso cuando el robot es empujado o tirado por fuerzas externas. En una prueba, un humano arrastró físicamente al robot hacia un obstáculo. En lugar de chocar, el planificador del robot reconoció inmediatamente el peligro y cambió su comportamiento a un modo más seguro, permitiéndole recuperarse y continuar la tarea. Esta capacidad de recuperarse de situaciones inseguras es una mejora significativa respecto a los métodos anteriores, que a menudo dejaban a los robots atrapados una vez que entraban en una zona peligrosa. Los investigadores también compararon su enfoque con otras técnicas de planificación avanzadas en simulaciones por computadora. Aunque otros métodos podían alcanzar el objetivo en ocasiones, frecuentemente chocaban contra obstáculos cuando el entorno se volvía impredecible. El nuevo método mantuvo una alta tasa de éxito, alcanzando el objetivo de forma segura en casi todos los ensayos, incluso cuando el robot era sometido a empujones fuertes y aleatorios.

El trabajo se basa en un mapa de seguridad precalculado que el robot consulta en tiempo real. Este mapa se genera fuera de línea (offline), un proceso que tomó unas siete horas en una computadora estándar para la tarea específica. Una vez que el mapa está listo, el robot puede usarlo instantáneamente, tomando decisiones en aproximadamente un milisegundo. Esta velocidad es crucial para aplicaciones del mundo real donde un robot debe reaccionar a los cambios en el entorno más rápido de lo que un humano puede parpadear. Los investigadores validaron su sistema en un robot cuadrúpedo real, un Unitree Go1, que fue rastreado por un sistema de captura de movimiento de alta velocidad para asegurar mediciones precisas de su posición y movimiento. El robot completó con éxito todo el circuito múltiples veces, demostrando que las garantías teóricas de seguridad se mantienen en la realidad desordenada e impredecible del mundo físico.

Aunque el método es poderoso, los investigadores reconocen sus limitaciones actuales. Los cálculos necesarios para generar el mapa de seguridad se vuelven extremadamente difíciles a medida que aumenta el número de variables, un problema conocido como la "maldición de la dimensionalidad". Esto significa que, por ahora, el sistema funciona mejor para robots con un número manejable de piezas móviles, como el robot cuadrúpedo utilizado en el estudio. Para máquinas más complejas con muchos grados de libertad, el costo computacional es actualmente demasiado alto. El equipo sugiere que el trabajo futuro deberá combinar sus rigurosas garantías de seguridad con nuevas técnicas basadas en el aprendizaje para manejar estos sistemas más complejos. También señalan que su enfoque actual asume que el robot conoce la disposición de los obstáculos de antemano. En un mundo dinámico donde los obstáculos se mueven o aparecen inesperadamente, el sistema necesitaría actualizar su mapa de seguridad sobre la marcha, un desafío que planean abordar en investigaciones futuras.

A pesar de estas limitaciones, el logro representa un paso significativo hacia la creación de robots autónomos verdaderamente fiables. Al proporcionar una garantía matemática de que un robot puede alcanzar su objetivo sin chocar, incluso cuando debe cambiar entre diferentes formas de moverse, los investigadores han eliminado una barrera importante para el despliegue de robots en entornos complejos y no estructurados. La capacidad de planificar tanto la seguridad como el éxito simultáneamente significa que los robots pueden ser confiables para operar en lugares donde el fallo no es una opción, desde misiones de búsqueda y rescate hasta tareas de fabricación delicadas. El marco convierte la naturaleza caótica del movimiento híbrido en un problema manejable, asegurando que, a medida que los robots se vuelven más ágiles y versátiles, sigan siendo fundamentalmente seguros.

Resumen Técnico: Alcanzabilidad de Hamilton-Jacobi para Sistemas Híbridos

1. Planteamiento del Problema

Los sistemas dinámicos híbridos, que combinan la dinámica continua con transiciones de modo discretas, son esenciales para modelar sistemas robóticos en entornos ricos en contactos (por ejemplo, robots saltadores, locomoción de patas). Sin embargo, garantizar la seguridad y el rendimiento en estos sistemas es un desafío debido al intrincado acoplamiento entre la evolución del estado continuo y los eventos discretos (como cambios de modo, reinicios de estado y transiciones forzadas).

El análisis de alcanzabilidad de Hamilton-Jacobi (HJ) existente proporciona un marco riguroso para sistemas continuos en el tiempo no lineales para computar Tubos de Retroceso (BRTs) y sintetizar controladores de seguridad. Sin embargo, la aplicación de estos métodos a sistemas híbridos se ha visto limitada por:

Supuestos Estructurales: Los métodos híbridos previos a menudo restringían el análisis a dinámicas lineales o excluían entradas controladas.
Integración de Objetivos: Los marcos existentes se centraban principalmente en la verificación (alcanzabilidad o evitación), pero no lograban integrar estas garantías de seguridad con objetivos de alcance de metas. Las aplicaciones del mundo real requieren controladores que no solo eviten el fallo, sino que también logren activamente las tareas.
Complejidad: El manejo simultáneo de transiciones controladas, transiciones forzadas y reinicios de estado dentro de un marco de alcanzabilidad unificado sigue siendo computacional y teóricamente exigente.

2. Metodología

El artículo extiende la alcanzabilidad HJ clásica a sistemas híbridos definiendo una función de valor generalizada sobre estados discretos y continuos. El enfoque se basa en tres componentes principales:

A. Modelo de Sistema Híbrido

El sistema se modela como una tupla $H = ((Q \times X), (U \times D), f, \text{Inv}, \Sigma, R)$ , donde:

$Q$ es un conjunto finito de modos discretos.
$X, U, D$ representan estados continuos, controles y perturbaciones.
$f$ define la dinámica continua $\dot{x} = f_i(x, u, d)$ dentro de un conjunto invariante $S_i$ .
$\Sigma$ incluye acciones discretas para transiciones controladas (cuando $x \in S_i$ ) y transiciones forzadas (cuando $x \notin S_i$ ).
$R$ define los mapas de reinicio $x^+ = R_{ij}(x)$ tras una transición.

B. Tubos de Retroceso Híbridos (hBRT)

Basándose en el trabajo previo (Borquez et al., 2024b), los autores utilizan una Desigualdad de Variación de Hamilton-Jacobi-Isaacs restringida (HJI-VI) para computar el hBRT. La función de valor $V(x, q_i, t)$ se actualiza seleccionando el resultado óptimo entre:

Transiciones Discretas: Realizar un cambio controlado $\sigma_{ij}$ o un cambio forzado $\varsigma_{ik}$ con los mapas de reinicio asociados.
Evolución Continua: Permanecer en el modo actual y evolucionar según la dinámica continua.
La solución caracteriza el conjunto de estados desde los cuales el sistema puede alcanzar una meta (vitalidad) o evitar un conjunto de fallo (seguridad) bajo perturbaciones de peor caso.

C. Dos Mecanismos de Control

El artículo propone dos mecanismos distintos para utilizar estos conjuntos alcanzables:

Filtro de Menor Restricción Híbrido (hLRF):
- Función: Un filtro de seguridad que envuelve cualquier política híbrida nominal $\pi_{nom}$ .
- Mecanismo: Interviene solo cuando es necesario. Para transiciones discretas, verifica si el cambio nominal conduce a un estado seguro (función de valor $V \geq 0$ ). Si no es así, lo sobrescribe con el cambio seguro óptimo. Para el control continuo, actúa como un controlador de frontera, modificando las entradas solo cuando el sistema está en la frontera de seguridad.
- Objetivo: Garantizar la invarianza hacia adelante del conjunto seguro minimizando la alteración del comportamiento nominal.
Tubos de Alcance-Evitación Híbridos (hBRAT):
- Función: Una formulación unificada que impone simultáneamente la seguridad (evitar el conjunto de fallo $L$ ) y la completitud de la tarea (alcanzar el conjunto meta $G$ ).
- Mecanismo: Los autores derivan una nueva HJI-VI restringida donde la condición terminal es $V(x, q, T) = \max(g(x), l(x))$ . La evolución de la función de valor combina el costo de alcanzar la meta y evitar el conjunto de fallo.
- Objetivo: Sintetizar políticas de control que garanticen que el sistema alcance el objetivo dentro de un horizonte de tiempo sin entrar nunca en el conjunto de fallo.

D. Implementación Numérica

Las funciones de valor se computan utilizando un método de nivel de conjunto basado en rejilla (Algoritmo 1 para hBRT, Algoritmo 2 para hBRAT). El algoritmo propaga la función de valor hacia atrás en el tiempo, actualizándola en cada paso para considerar la dinámica continua y las transiciones discretas a través de todos los modos.

3. Contribuciones Clave

Filtro de Seguridad Híbrido Unificado (hLRF): Un mecanismo en tiempo real que garantiza la seguridad para sistemas híbridos con reinicios de estado y transiciones forzadas, envolviendo cualquier política nominal. Se demuestra que asegura la invarianza hacia adelante del conjunto seguro.
Formulación de Alcance-Evitación Híbrida (hBRAT): Un nuevo marco matemático que codifica conjuntamente los objetivos de seguridad y alcance de metas en sistemas híbridos. Deriva una nueva HJI-VI que caracteriza el conjunto de estados que garantizan tanto la completitud de la tarea como la seguridad bajo perturbaciones de peor caso.
Validación en Hardware Real: Despliegue exitoso en un robot cuadrúpedo (Unitree Go1) navegando por un complejo circuito de obstáculos estilo Barkour, demostrando la capacidad del marco para manejar cambios de modo (caminar, escalar, gatear) y recuperarse de perturbaciones externas.

4. Resultados

Estudios de Simulación

Robot Saltador Planar: El hLRF modificó con éxito las políticas nominales (movimiento en línea recta y saltos bajos) para superar obstáculos mediante la activación de saltos óptimos, asegurando la seguridad con una intervención mínima.
Satélite de Órbita Terrestre Baja: El filtro evitó colisiones en un entorno orbital congestionado, gestionando empujes controlados y transiciones de enfriamiento forzadas.
Simulación de Cuadrúpedo (Barkour): Comparado contra MPPI (Model Predictive Path Integral), MPC Determinista y MPC con Funciones de Barrera de Control (MPC-CBF).
- Seguridad: El planificador hBRAT alcanzó las tasas más altas de "Alcance Seguro" en todos los niveles de perturbación (0.81 con $\sigma=0.4$ m/s), superando significativamente a las bases (MPC: 0.48, MPC-CBF: 0.44).
- Robustez: Aunque las bases alcanzaron la meta, colisionaron frecuentemente con obstáculos bajo alta perturbación. El planificador hBRAT mantuvo la seguridad al recuperarse de las perturbaciones y adherirse al tubo de alcance-evitación.

Experimentos en el Mundo Real

Hardware: Un cuadrúpedo Unitree Go1 navegó por un circuito con postes de slalom, pendientes, voladizos y terreno resbaladizo.
Rendimiento: El sistema completó la tarea con éxito tanto con un controlador de bajo nivel basado en modelos (MPC) como uno aprendido (RL).
- Seguridad: 100% de tasa de éxito y 100% de tasa de alcance seguro en 10 ensayos con ambos controladores.
- Recuperación: El planificador basado en hBRAT demostró la capacidad de recuperarse de perturbaciones físicas externas (por ejemplo, ser empujado hacia un voladizo) mediante el cambio autónomo de modos (por ejemplo, de caminar a gatear) para recuperar la seguridad, una capacidad ausente en marcos anteriores.
- Eficiencia: La inferencia en línea tomó aproximadamente 1 ms por consulta, permitiendo la operación en tiempo real.

5. Significado y Reivindicaciones

El artículo afirma cerrar la brecha crítica entre la verificación de seguridad y el control dirigido a metas en sistemas híbridos. Al extender la alcanzabilidad HJ para manejar la dinámica híbrida con una formulación de alcance-evitación unificada, los autores proporcionan un método que:

Garantiza la Seguridad y la Completitud de la Tarea: A diferencia de métodos anteriores que trataban la seguridad y las metas por separado, este marco sintetiza políticas que son demostrablemente seguras y completas en su objetivo.
Permite una Intervención Mínima: El hLRF permite el uso de controladores nominales de alto rendimiento mientras proporciona una red de seguridad rigurosa que interviene solo cuando es absolutamente necesario.
Maneja Dinámicas Híbridas Complejas: El marco tiene en cuenta explícitamente las transiciones controladas, las transiciones forzadas y los reinicios de estado, que son prevalentes en la robótica de patas pero que a menudo se ignoran en los filtros de seguridad puramente continuos.

Los autores reconocen limitaciones, específicamente la complejidad computacional que escala exponencialmente con la dimensión del estado (la maldición de la dimensionalidad) y la dependencia del conocimiento a priori del entorno para el cálculo fuera de línea. Posicionan este trabajo como un paso fundacional hacia sistemas robóticos más seguros y capaces en entornos dinámicos, con trabajos futuros dirigidos a aproximaciones de aprendizaje para dimensiones más altas y actualizaciones de alcanzabilidad en línea.