技術要約：ハイブリッドシステムにおけるハミルトン・ヤコビ到達可能性解析

1. 問題提起

連続的なダイナミクスと離散的なモード遷移を組み合わせたハイブリッド動的システムは、接触の多い環境（例：跳躍するロボット、脚式移動）におけるロボットシステムのモデリングに不可欠である。しかし、これらのシステムにおいて安全性と性能を保証することは、連続状態の進化と離散イベント（モードの切り替え、状態のリセット、強制遷移など）の間の複雑な結合により困難を伴う。

既存のハミルトン・ヤコビ（HJ）到達可能性解析は、連続時間非線形システムに対して後方到達可能チューブ（BRT）を計算し、安全コントローラを合成するための厳密な枠組みを提供している。しかし、ハイブリッドシステムへのこれらの手法の適用は、以下の理由により制限されてきた：

1. 構造的仮定： 従来のハイブリッド手法は、多くの場合、線形ダイナミクスに限定されているか、制御入力が除外されている。
2. 目的の統合： 既存のフレームワークは主に検証（到達可能性または回避）に焦点を当てており、これらの安全保証を目標達成の目的と統合できていない。現実世界のアプリケーションでは、失敗を回避するだけでなく、タスクを能動的に達成するコントローラが必要とされる。
3. 複雑性： 制御された遷移、強制遷移、および状態リセットを、統一された到達可能性の枠組みの中で同時に扱うことは、計算量および理論の両面で困難である。

2. 手法

本論文は、離散状態と連続状態の両方に対して一般化された値関数を定義することにより、古典的なHJ到達可能性解析をハイブリッドシステムへと拡張する。このアプローチは、以下の3つのコアコンポーネントに基づいている：

A. ハイブリッドシステムモデル

システムはタプル $H = ((Q \times X), (U \times D), f, \text{Inv}, \Sigma, R)$ としてモデル化される：

• $Q$ は離散モードの有限集合。
• $X, U, D$ はそれぞれ連続状態、制御、および外乱を表す。
• $f$ は不変集合 $S_i$ 内における連続ダイナミクス $\dot{x} = f_i(x, u, d)$ を定義する。
• $\Sigma$ は、制御された遷移（$x \in S_i$ の場合）および強制遷移（$x \notin S_i$ の場合）のための離散アクションを含む。
• $R$ は、遷移時におけるリセット写像 $x^+ = R_{ij}(x)$ を定義する。

B. ハイブリッド後方到達可能チューブ (hBRT)

先行研究（Borquez et al., 2024b）に基づき、著者らは制約付きハミルトン・ヤコビ・イサークス変分不等式（HJI-VI）を利用してhBRTを計算する。値関数 $V(x, q_i, t)$ は、以下の最適な結果を選択することによって更新される：

1. 離散遷移： 関連するリセット写像を伴う、制御されたスイッチ $\sigma_{ij}$ または強制的なスイッチ $\varsigma_{ik}$ を実行する。
2. 連続進化： 現在のモードに留まり、連続ダイナミクスに従って進化する。
   この解は、最悪の外乱条件下で、システムが目標に到達できる（生存性）または失敗集合を回避できる（安全性）状態の集合を特徴付ける。

C. 2つの制御メカニズム

本論文では、これらの到達可能集合を利用するための2つの異なるメカニズムを提案している：

1. ハイブリッド最小制約フィルタ (hLRF):

   • 機能： いかなる公称ハイブリッド方策 $\pi_{nom}$ も包摂する安全フィルタ。
   • メカニズム： 必要最小限の場合にのみ介入する。離散遷移については、公称の切り替えが安全な状態（値関数 $V \geq 0$）につながるかどうかをチェックする。もしそうでない場合は、最適な安全な切り替えへと上書きする。連続制御については、システムが安全境界上にいる場合にのみ入力を修正する境界コントローラとして機能する。
   • 目標： 公称の挙動を最小限に変化させつつ、安全集合の前方不変性を保証すること。

2. ハイブリッド後方到達・回避チューブ (hBRAT):

   • 機能： 安全性（失敗集合 $L$ の回避）とタスク完了（目標集合 $G$ への到達）を同時に強制する統一された定式化。
   • メカニズム： 著者らは、終端条件が $V(x, q, T) = \max(g(x), l(x))$ となる新しい制約付きHJI-VIを導出する。値関数の進化は、目標への到達コストと失敗集合の回避コストを組み合わせる。
   • 目標： 最悪の外乱条件下でも、システムが時間ホライゾン内で目標に到達することを保証する制御方策を合成すること。

D. 数値実装

値関数は、グリッドベースのレベルセット法（Algorithm 1 は hBRT 用、Algorithm 2 は hBRAT 用）を用いて計算される。アルゴリズムは値を後方に伝播させ、各ステップで、すべてのモードにわたる連続ダイナミクスと離散遷移を考慮して値を更新する。

3. 主な貢献

1. 統一ハイブリッド安全フィルタ (hLRF): 状態リセットと強制遷移を伴うハイブリッドシステムに対して、あらゆる公称方策を包摂し、安全性を保証するリアルタイムメカニズム。これは安全集合の前方不変性を保証することが証明されている。
2. ハイブリッド到達・回避定式化 (hBRAT): 安全性と目標達成の目的をハイブリッドシステムにおいて統合的に符号化する新しい数学的フレームワーク。これは、最悪の外乱条件下でタスク完了と安全性の両方を保証する状態の集合を特徴付ける新しいHJI-VIを導出する。
3. 実機による検証： 複雑なParkour形式の障害物コースをナビゲートする四足歩行ロボット（Unitree Go1）への展開に成功し、モード切り替え（歩行、登攀、這行）を処理し、外部からの外乱から回復するフレームワークの能力を実証した。

4. 結果

シミュレーション研究

• 平面跳躍ロボット： hLRFは、公称方策（直線運動および低い跳躍）を、最適な跳躍をトリガーすることで障害物をクリアするように修正し、最小限の介入で安全性を確保した。
• 低軌道宇宙船： フィルタは、制御された推力と強制的な冷却遷移を管理することで、混雑した軌道環境における衝突を防いだ。
• 四足歩行ロボットシミュレーション (Barkour)： MPPI、決定論的MPC、およびCBF-MPCを用いたMPCと比較。
  • 安全性： hBRATプランナは、すべての外乱レベルにおいて最も高い「安全到達（Safe Reach）」率を達成し（$\sigma=0.4$ m/s で 0.81）、ベースラインを大幅に上回った（MPC: 0.48, MPC-CBF: 0.44）。
  • 堅牢性： ベースラインは目標に到達したが、高い外乱下では頻繁に障害物と衝突した。hBRATプランナは、外乱から回復し、到達・回避チューブに従うことで安全性を維持した。

実機実験

• ハードウェア： Unitree Go1 四足歩行ロボットが、ウィーブポール、傾斜、オーバーハング、および滑りやすい地形を含むコースをナビゲートした。
• 性能： モデルベース（MPC）および学習ベース（RL）の低レベルコントローラの両方を用いて、タスクを正常に完了した。
  • 安全性： 10回の試行において、両方のコントローラで100%の成功率および100%の安全到達率を達成した。
  • 回復力： hBRATベースのプランナは、外部からの物理的な外乱（例：オーバーハングへ押し込まれる）から、安全を取り戻すために自律的にモードを切り替える（例：歩行から這行へ）ことで回復する能力を示した。これは従来のフレームワークには欠けている能力である。
  • 効率性： オンライン推論にはクエリあたり約1 msを要し、リアルタイム動作を可能にした。

5. 重要性と主張

本論文は、ハイブリッドシステムにおける安全検証と目標指向制御の間の決定的なギャップを埋めるものであると主張している。ハイブリッドダイナミクスを扱うためにHJ到達可能性解析を拡張し、統一された到達・回避定式化を提供することで、著者らは以下の手法を実現している：

• 安全性とタスク完了の保証： 安全性と目標を別々に扱っていた従来の手法とは異なり、このフレームワークは、証明可能なほど安全かつ目標達成可能な方策を合成する。
• 最小限の介入の実現： hLRFは、高性能な公称コントローラを使用することを可能にしながら、絶対に必要な場合にのみ介入する厳密なセーフティネットを提供する。
• 複雑なハイブリッドダイナミクスの処理： このフレームワークは、連続のみの安全フィルタでは無視されがちな、制御された遷移、強制遷移、および状態リセットを明示的に考慮している。

著者らは、計算量が状態次元に対して指数関数的に増大すること（次元の呪い）や、オフライン計算のための環境に関する事前知識への依存といった限界を認めている。彼らは、この研究を、より動的な環境におけるより安全で有能なロボットシステムへの基礎的な一歩として位置づけており、将来の研究として高次元のための学習ベースの近似やオンラインでの到達可能性更新を挙げている。