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Hamilton-Jacobi Reachability for Hybrid Systems: Unified Goal-Driven Control with Safety Guarantees

本文通过引入一个统一框架，将 Hamilton-Jacobi 可达性分析扩展到混合动力系统，该框架通过最小限制安全滤波器和后向可达-规避管（backward reach-avoid tubes）来计算安全集并整合性能目标，从而为接触密集环境中的机器人系统保证安全性与任务完成性。

原作者： Javier Borquez, Shuang Peng, Somil Bansal

发布于 2026-09-16

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CC BY 4.0

原作者： Javier Borquez, Shuang Peng, Somil Bansal

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

在现实世界中移动的机器人面临着一个根本性的挑战：它们的动作很少是平滑且连续的。在公园里奔跑的狗、与空间站对接的航天器，或是降落在船上的无人机，都会经历运动方式的突然转变。它们可能在轮子上滑动，然后突然跳入空中，或者从轻盈的滑行切换到剧烈的撞击。在工程术语中，这些系统是“混合型”的，这意味着它们结合了平滑流动的运动与从一种运行模式到另一种模式的突然、离散的跳转。为了让机器人变得有用且安全，它不仅必须能够应对这些转变，还必须保证自己永远不会陷入无法逃脱的陷阱。这需要一种能够向前预判的方法，并能以绝对的确定性知道哪些路径是安全的，哪些会导致失败，即使机器人的环境是不可预测的。

几十年来，工程师们一直使用一种被称为哈密顿-雅可比可达性（Hamilton-Jacobi reachability）的强大数学工具来解决平滑系统的这一问题。这种方法允许计算机计算出一个“安全区域”，即一张涵盖所有可能的起始位置的地图，无论风向如何变化或地面如何移动，机器人都能从这些位置避免碰撞。然而，当该工具应用于混合系统时，它失效了。由于模式之间的突然跳转（例如机器人的脚落地），产生了一种旧数学无法处理的复杂性。由于缺乏计算混合系统安全区域的方法，工程师们被迫依赖猜测或试错法，使得机器人在复杂环境中极易受到意外失败的影响。

一组研究人员通过将可达性方法扩展到处理这些混合系统，填补了这一空白。他们开发了一个新框架，可以计算那些在不同行为（如行走、跳跃或飞行）之间切换的机器人的安全区域。他们的工作做了两件截然不同的事情。首先，他们创建了一个安全过滤器，充当一名警觉的监督员。这个过滤器会观察机器人的计划路径，只有当计划中的动作会导致碰撞时，它才会介入。如果机器人试图跳向一堵墙，过滤器会将计划轻轻引导至一个安全的替代方案；但如果计划本身已经是安全的，它就会让机器人按照原定计划进行。这确保了机器人在保持安全的同时，不会被迫进行笨拙或不必要的移动。其次，他们开发了一种不仅能规划安全性，还能规划成功率的方法。这种新方法计算出一条路径，既能保证机器人到达目标（如对接端口或终点线），又能同时避开所有障碍物。它找到了一条既安全又高效的路线，即使机器人在到达过程中必须切换不同的运动模式。

为了证明其想法的可行性，研究人员在一个受犬类敏捷比赛启发的具有挑战性的障碍赛道上，对四足机器人进行了测试。该赛道包括紧凑的绕桩、陡坡、需要爬行的低矮悬垂物以及湿滑的地形。机器人必须完成整个赛道且不撞击任何物体。研究人员使用两种不同的底层控制系统运行机器人：一种基于传统的物理方程，另一种基于人工智能学习。在这两种情况下，新的高层规划器都成功地引导机器人通过了赛道。当机器人接近低矮悬挂物时，规划器会自动将其模式切换为爬行步态，以避免撞到头部。当它到达湿滑区域时，它会切换到更快的步态以保持牵引力。该系统实现了这些切换的无缝衔证，确保机器人从未进入危险状态。

实验表明，即使在受到外力推拉的情况下，该方法依然稳健。在一次测试中，一名人类将机器人物理性地拖向障碍物。机器人规划器没有发生碰撞，而是立即识别出了危险，并将行为切换到更安全的模式，从而使其能够恢复并继续执行任务。这种从不安全状态中恢复的能力，相比以往经常在进入危险区域后就陷入困境的旧方法有了显著改进。研究人员还在计算机模拟中将该方法与其他先进的规划技术进行了对比。虽然其他方法有时可以到达目标，但在环境变得不可预测时，它们经常撞上障碍物。而新方法保持了极高的成功率，即使在受到强烈的随机推力时，也能在几乎所有的试验中安全到达目标。

这项工作依赖于一张机器人实时查阅的预先计算好的安全地图。这张地图是在离线状态下生成的，针对特定任务，在标准计算机上耗时约七小时。一旦地图准备就绪，机器人可以瞬间调用，决策时间约为一毫秒。这种速度对于需要在人类眨眼间对环境变化做出反应的现实应用至关重要。研究人员在真实的四足机器人（Unitree Go1）上验证了他们的系统，并使用高速运动捕捉系统对其位置和运动进行了精确测量。机器人多次成功完成了整个赛道，证明了理论上的安全保证在混乱、不可预测的物理世界中同样成立。

尽管该方法功能强大，但研究人员也承认其目前的局限性。生成安全地图所需的计算量会随着变量数量的增加而变得极其困难，这是一个被称为“维度灾难”的问题。这意味着目前该系统最适合具有适中运动部件数量的机器人，例如研究中使用的四足机器人。对于拥有许多自由度的更复杂的机器，目前的计算成本过高。团队建议，未来的工作需要将这种严谨的安全保证与新的学习技术相结合，以处理这些更复杂的系统。他们还指出，目前的方法假设机器人预先知道障碍物的布局。在障碍物移动或意外出现的动态世界中，系统需要实时更新其安全地图，这是他们计划在未来研究中解决的挑战。

尽管存在这些局限性，这一成就仍代表了使自主机器人变得真正可靠的重要一步。通过提供一种数学保证，即机器人可以在必须切换运动方式的同时，依然能确保到达目标而不发生碰撞，研究人员消除了一个在复杂、非结构化环境中部署机器人的主要障碍。同时规划安全性与成功性的能力，意味着机器人可以被信任地在那些失败代价极高的场所运行，例如搜救任务或精密的制造任务。该框架将混合运动的混沌本质转化为一个可控的问题，确保随着机器人变得更加敏捷和多才多艺，它们在本质上依然是安全的。

技术摘要：混合系统的 Hamilton-Jacobi 可达性分析

1. 问题陈述

结合了连续动力学与离散模态转换的混合动力系统，对于建模接触密集型环境中的机器人系统（例如跳跃机器人、足式运动）至关重要。然而，确保此类系统的安全性和性能具有挑战性，因为这涉及到连续状态演化与离散事件（如模态切换、状态重置和强制转换）之间复杂的耦合关系。

现有的 Hamilton-Jacobi (HJ) 可达性分析为连续时间非线性系统提供了一个严谨的框架，用于计算后向可达管 (Backward Reachable Tubes, BRTs) 并合成安全控制器。然而，将这些方法应用于混合系统受到了以下因素的限制：

结构性假设： 先前的混合系统方法通常将分析限制在线性动力学内，或者排除了受控输入。
目标集成： 现有的框架主要侧重于验证（可达性或规避），未能将这些安全保证与目标达成目标相结合。现实世界的应用不仅需要能够避免失败，还需要能够积极实现任务。
复杂性： 在统一的可达性框架内同时处理受控转换、强制转换和状态重置，在计算和理论上都极具挑战性。

2. 方法论

本文通过定义一个涵盖离散和连续状态的广义值函数，将经典的 HJ 可达性扩展到混合系统。该方法基于三个核心组件：

A. 混合系统模型

系统被建模为一个元组 $H = ((Q \times X), (U \times D), f, \text{Inv}, \Sigma, R)$ ，其中：

$Q$ 是有限的离散模态集合。
$X, U, D$ 分别代表连续状态、控制和扰动。
$f$ 定义了在不变集 $S_i$ 内的连续动力学 $\dot{x} = f_i(x, u, d)$ 。
$\Sigma$ 包括用于受控转换（当 $x \in S_i$ 时）和强制转换（当 $x \notin S_i$ 时）的离散动作。
$R$ 定义了转换时的重置映射 $x^+ = R_{ij}(x)$ 。

B. 混合后向可达管 (hBRT)

基于前人的工作（Borquez 等人，2024b），作者利用约束 Hamilton-Jacobi-Isaacs 变分不等式 (HJI-VI) 来计算 hBRT。值函数 $V(x, q_i, t)$ 通过在以下各项之间选择最优结果进行更新：

离散转换： 进行伴随相关重置映射的受控切换 $\sigma_{ij}$ 或强制切换 $\varsigma_{ik}$ 。
连续演化： 在当前模态内停留并根据连续动力学进行演化。
该解刻画了在最坏情况扰动下，系统可以到达目标（生存性）或避免失败集（安全性）的状态集合。

C. 两类控制机制

本文提出了两种不同的机制来利用这些可达集：

混合最小限制滤波器 (hLRF)：
- 功能： 一个封装任何标称混合策略 $\pi_{nom}$ 的安全滤波器。
- 机制： 它仅在必要时进行干预。对于离散转换，它检查标称切换是否会导致安全状态（值函数 $V \geq 0$ ）。如果不是，它会以最优安全切换进行覆盖。对于连续控制，它作为一个边界控制器，仅在系统处于安全边界时修改输入。
- 目标： 在尽可能减少对标称行为干扰的同时，保证安全集的向前不变性。
混合后向到达-规避管 (hBRAT)：
- 功能： 一个同时强制执行安全性（规避失败集 $L$ ）和任务完成（到达目标集 $G$ ）的统一公式。
- 机制： 作者推导了一种新的约束 HJI-VI，其终端条件为 $V(x, q, T) = \max(g(x), l(x))$ 。值函数的演化结合了到达目标的代价和规避失败集的代价。
- 目标： 合成能够在给定时间范围内既保证到达目标又从未进入失败集的控制策略。

D. 数值实现

使用基于网格的水平集方法（算法 1 用于 hBRT，算法 2 用于 hBRAT）来计算值函数。算法在时间上进行后向传播，在每一步更新值函数，以考虑连续动力学和跨所有模态的离散转换。

3. 核心贡献

统一的混合安全滤波器 (hLRF)： 一种实时机制，能够为具有状态重置和强制转换的混合系统提供安全保障，并封装任何标称策略。经证明，它能确保安全集的向前不变性。
混合到达-规避公式 (hBRAT)： 一种新型数学框架，在混合系统中共同编码安全性与目标达成目标。它推导出了一个新的 HJI-VI，该式刻画了在最坏情况扰动下，既能保证任务完成又能保证安全的态集。
真实硬件验证： 在四足机器人（Unitree Go1）导航复杂 Barkour 式障碍物赛道的过程中成功部署，展示了该框架处理模态切换（行走、爬行、攀爬）以及从外部扰动中恢复的能力。

4. 结果

仿真研究

平面跳跃机器人： hLRF 成功修改了标称策略（直线运动和低跳跃）以越过障碍物，通过触发最优跳跃确保了安全性，且干预极小。
近地轨道航天器： 该滤波器防止了在拥挤的轨道环境中发生碰撞，管理了受控推力和强制冷却转换。
四足机器人仿真 (Barkour)： 与模型预测路径积分 (MPPI)、确定性 MPC 以及带有控制障碍函数的 MPC (CBF-MPC) 进行对比。
- 安全性： hBRAT 规划器在所有扰动水平下均实现了最高的“安全到达”率（在 $\sigma=0.4$ m/s 时为 0.81），显著优于基准方法（MPC: 0.48, MPC-CBF: 0.44）。
- 鲁棒性： 虽然基准方法可以到达目标，但在高扰动下经常发生碰撞。hBRAT 规划器通过从扰动中恢复并遵循到达-规避管，保持了安全性。

真实实验

硬件： 一台 Unitree Go1 四足机器人导航通过包含编织杆、斜坡、悬顶和湿滑地形的赛道。
性能： 系统在结合基于模型 (MPC) 和基于学习 (RL) 的底层控制器时，均成功完成了任务。
- 安全性： 在 10 次试验中，两种控制器的成功率和安全到达率均为 100%。
- 恢复能力： 基于 hBRAT 的规划器展示了从外部物理扰动（例如被推向悬顶处）中恢复的能力，通过自主切换模态（例如从行走切换到爬行）来重新获得安全性，这是以往框架所缺乏的能力。
- 效率： 在线推理每次查询仅需约 1 毫秒，实现了实时运行。

5. 意义与主张

本文声称填补了混合系统中安全验证与目标导向控制之间的关键空白。通过将 HJ 可达性扩展到处理具有混合动力学的到达-规避统一公式，作者提供了一种方法，该方法：

保证安全性与任务完成： 不同于以往将安全性与目标分开处理的方法，该框架合成的策略在证明上既是安全的，也能完成目标。
实现最小干预： hLRF 允许使用高性能的标称控制器，同时提供一个严谨的安全网，仅在绝对必要时进行干预。
处理复杂的混合动力学： 该框架明确考虑了受控转换、强制转换和状态重置，这些现象在足式机器人中普遍存在，但在仅针对连续系统的安全滤波器中常被忽略。

作者承认存在局限性，特别是随着状态维度增加而呈指数级增长的计算复杂度（维度灾难），以及对环境先验知识的依赖。他们将这项工作定位为迈向在动态环境中更安全、更强大的机器人系统的基础性一步，未来的工作将针对高维度的学习型近似和在线可达性更新。