Inference for the Lorenz Curve and Gini Index under the Geometric Distribution

Resumen Técnico: Inferencia para la Curva de Lorenz e Índice de Gini bajo la Distribución Geométrica

Planteamiento del Problema
Las medidas de desigualdad, específicamente la curva de Lorenz y el índice de Gini, son herramientas fundamentales en la economía, la teoría de la fiabilidad y las ciencias actuariales. Si bien sus propiedades teóricas y marcos de inferencia están bien establecidos para distribuciones continuas (por ejemplo, exponencial, lognormal, Pareto), su aplicación a datos discretos presenta desafíos analíticos significativos. En entornos discretos, la función de distribución acumulada es una función escalonada, lo que invalida la definición integral estándar de la curva de Lorenz. En consecuencia, la literatura existente carece de una teoría inferencial sistemática para estas medidas bajo modelos paramétricos discretos. Este artículo aborda esta brecha mediante el desarrollo de las propiedades distribucionales exactas y asintóticas de los estimadores de máxima verosimilitud (MLE) para la curva de Lorenz y el índice de Gini bajo la distribución geométrica, un modelo fundamental para datos de conteo en campos como la fiabilidad, la teoría de colas y la epidemiología.

Metodología
Los autores formulan un análogo discreto de la curva de Lorenz reemplazando la integración por la sumatoria sobre el soporte de la función de masa de probabilidad. Para una variable aleatoria geométrica $X \sim \text{Geom}(p)$ con soporte $\{0, 1, 2, \dots\}$, la curva de Lorenz $L(u; p)$ se define mediante la inversa generalizada de la función de distribución.

El estudio procede a través de los siguientes pasos metodológicos:

1. Derivación del Estimador: Utilizando la propiedad de invarianza de los MLE, los estimadores para la curva de Lorenz ($\hat{L}(u)$) y el índice de Gini ($\hat{G}$) se derivan directamente del MLE del parámetro $p$, denotado como $\hat{p} = n / (n + \sum X_i)$.
2. Teoría de la Distribución Exacta: Reconociendo que el estadístico suficiente $T = \sum X_i$ sigue una distribución binomial negativa, los autores derivan las distribuciones de muestreo exactas de $\hat{L}(u)$ y $\hat{G}$ en forma cerrada. Estas distribuciones son de base de red (lattice-based) y no suaves, reflejando la naturaleza discreta del modelo subyacente.
3. Análisis Asintótico: El artículo establece la consistencia fuerte y la convergencia $L_k$ para ambos estimadores. La normalidad asintótica se deriva utilizando el método delta, produciendo expresiones de varianza explícitas.
4. Simulación y Aplicación: Un estudio de simulación de Monte Carlo (5,000 replicaciones) evalúa el desempeño en muestras finitas (sesgo, varianza, MSE) a través de varios valores del parámetro ($p$) y tamaños de muestra ($n$). La metodología se ilustra además utilizando el conjunto de datos de recuento de palabras de los Federalist Papers.

Contribuciones Clave y Resultados

• Formas Distribucionales Exactas: El artículo proporciona las primeras expresiones en forma cerrada para las distribuciones de muestreo exactas de los estimadores de la curva de Lorenz y el índice de Gini bajo la distribución geométrica.

  • Para el índice de Gini, se demuestra que el estimador $\hat{G} = (n+T)/(2n+T)$ es una función de uno a uno de la estadística suficiente $T$. Su función de distribución se expresa mediante la función de distribución acumulada (CDF) de la binomial negativa incompleta.
  • Para la curva de Lorenz, la distribución se deriva basándose en la transformación de la variable binomial negativa, revelando una estructura escalonada dependiente de la inversa generalizada.

• Propiedades Asintóticas:

  • Índice de Gini: Se demuestra que el estimador $\hat{G}$ es fuertemente consistente y asintóticamente normal. La varianza asintótica se deriva explícitamente como $\tau^2 = p^2(1-p)/(2-p)^4$. Notablemente, el estimador del índice de Gini no requiere condiciones de regularidad respecto al parámetro $u$ (ya que es un funcional escalar de $p$), lo que permite una inferencia confiable incluso con tamaños de muestra moderados.
  • Curva de Lorenz: El estimador $\hat{L}(u)$ es consistente, pero su normalidad asintótica requiere una condición de regularidad: el mapeo $p \mapsto F^{-1}(u; p)$ debe ser constante en un vecindario del parámetro verdadero. De lo contrario, la derivada no está definida.

• Desempeño en Muestras Finitas (Hallazgos de la Simulación):

  • El estimador del índice de Gini se comporta de manera robusta; las varianzas simuladas siguen de cerca la aproximación asintótica incluso para tamaños de muestra pequeños ($n=20$).
  • En contraste, el estimador de la curva de Lorenz exhibe una convergencia significativamente más lenta hacia el régimen asintótico. Debido a la estructura de "saltos" discretos de la distribución, el estimador frecuentemente cruza los puntos de salto de la inversa generalizada en muestras finitas, inflando la varianza más allá de la predicción del método delta. Este efecto es particularmente pronunciado para valores grandes de $p$. La simulación indica que la normalidad asintótica para $\hat{L}(u)$ puede requerir tamaños de muestra sustancialmente mayores para ser prácticamente confiable.

• Aplicación a Datos Reales:

  • La metodología se aplicó al conjunto de datos de recuento de palabras de los Federalist Papers (frecuencia de la palabra "may"). La distribución geométrica proporcionó un ajuste excelente (valor p de Pearson $\chi^2 = 0.783$).
  • El índice de Gini estimado fue $\hat{G} = 0.7162$ con un intervalo de confianza del 95% de $(0.6926, 0.7398)$, lo que indica una alta concentración en el uso de palabras.
  • La curva de Lorenz ajustada capturó correctamente la característica discreta donde el 40% más bajo de los bloques de texto (aquellos con cero ocurrencias) no contribuye con nada al recuento total, resultando en un segmento plano en el origen.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar un marco de inferencia riguroso para las medidas de desigualdad en entornos discretos, extendiendo el análisis clásico basado en la curva de Lorenz a un modelo fundamental de conteo discreto. Los autores enfatizan que, mientras el estimador del índice de Gini permite una inferencia asintótica estándar desde tamaños de muestra moderados, el estimador de la curva de Lorenz requiere el uso de las distribuciones exactas derivadas para una inferencia precisa, particularmente en muestras pequeñas o cuando $p$ es grande. Esta distinción resalta una diferencia fundamental entre la estimación de la desigualdad continua y la discreta. El trabajo aborda un vacío específico en la literatura donde la teoría inferencial sistemática (que cubra distribuciones exactas, consistencia y normalidad asintótica) para modelos paramétricos discretos estaba previamente ausente.