Inference for the Lorenz Curve and Gini Index under the Geometric Distribution

Résumé technique : Inférence pour la courbe de Lorenz et l'indice de Gini sous la loi géométrique

Énoncé du problème
Les mesures d'inégalité, plus précisément la courbe de Lorenz et l'indice de Gini, sont des outils fondamentaux en économie, en théorie de la fiabilité et en sciences actuarielles. Bien que leurs propriétés théoriques et leurs cadres inférentiels soient bien établis pour les distributions continues (par exemple, exponentielle, log-normale, Pareto), leur application aux données discrètes présente des défis analytiques importants. Dans les contextes discrets, la fonction de répartition cumulative est une fonction en escalier, ce qui rend invalide la définition intégrale standard de la courbe de Lorenz. Par conséquent, la littérature existante manque d'une théorie inférentielle systématique pour ces mesures sous des modèles paramétriques discrets. Cet article comble cette lacune en développant les propriétés distributionnelles exactes et asymptotiques des estimateurs du maximum de vraisemblance (EMV) pour la courbe de Lorenz et l'indice de Gini sous la loi géométrique, un modèle fondamental pour les données de comptage dans des domaines tels que la fiabilité, la théorie des files d'attente et l'épidémiologie.

Méthodologie
Les auteurs formulent un analogue discret de la courbe de Lorenz en remplaçant l'intégration par une sommation sur le support de la fonction de masse de probabilité. Pour une variable aléatoire géométrique $X \sim \text{Geom}(p)$ avec un support $\{0, 1, 2, \dots\}$, la courbe de Lorenz $L(u; p)$ est définie via l'inverse généralisé de la fonction de distribution.

L'étude procède selon les étapes méthodologiques suivantes :

1. Dérivation de l'estimateur : Utilisant la propriété d'invariance de l'EMV, les estimateurs de la courbe de Lorenz ($\hat{L}(u)$) et de l'indice de Gini ($\hat{G}$) sont dérivés directement de l'EMV du paramètre $p$, noté $\hat{p} = n / (n + \sum X_i)$.
2. Théorie de la distribution exacte : Reconnaissant que la statistique suffisante $T = \sum X_i$ suit une loi binomiale négative, les auteurs dérivent les distributions d'échantillonnage exactes de $\hat{L}(u)$ et $\hat{G}$ sous forme fermée. Ces distributions sont basées sur un réseau (lattice-based) et ne sont pas lisses, reflétant la nature discrète du modèle sous-jacent.
3. Analyse asymptotique : L'article établit la forte cohérence et la convergence $L_k$ pour les deux estimateurs. La normalité asymptotique est dérivée via la méthode delta, produisant des expressions explicites de la variance.
4. Simulation et application : Une étude de simulation de Monte Carlo (5 000 réplications) évalue la performance en échantillon fini (biais, variance, MSE) à travers diverses valeurs de paramètres ($p$) et tailles d'échantillon ($n$). La méthodologie est illustrée par l'utilisation du jeu de données sur le décompte des mots des Federalist Papers.

Contributions clés et résultats

• Formes de distribution exactes : L'article fournit les premières expressions en forme fermée des distributions d'échantillonnage exactes des estimateurs de la courbe de Lorenz et de l'indice de Gini sous la loi géométrique.

  • Pour l'indice de Gini, l'estimateur $\hat{G} = (n+T)/(2n+T)$ est montré comme étant une fonction univoque de la statistique suffisante $T$. Sa fonction de distribution est exprimée via la fonction de répartition (CDF) incomplète de la loi binomiale négative.
  • Pour la courbe de Lorenz, la distribution est dérivée sur la base de la transformation de la variable binomiale négative, révélant une structure par paliers dépendante de l'inverse généralisé.

• Propriétés asymptotiques :

  • Indice de Gini : L'estimateur $\hat{G}$ est montré comme étant fortement cohérent et asymptotiquement normal. La variance asymptotique est dérivée explicitement comme $\tau^2 = p^2(1-p)/(2-p)^4$. Notablement, l'estimateur de l'indice de Gini ne nécessite pas de conditions de régularité concernant le paramètre $u$ (car il s'agit d'une fonctionnelle scalaire de $p$), permettant une inférence fiable même avec des tailles d'échantillon modérées.
  • Courbe de Lorenz : L'estimateur $\hat{L}(u)$ est cohérent, mais sa normalité asymptotique nécessite une condition de régularité : la correspondance $p \mapsto F^{-1}(u; p)$ doit être constante dans un voisinage du paramètre réel. Sans cela, la dérivée est indéfinie.

• Performance en échantillon fini (Résultats de simulation) :

  • L'estimateur de l'indice de Gini est robuste ; les variances simulées suivent de près l'approximation asymptotique même pour de petites tailles d'échantillon ($n=20$).
  • En revanche, l'estimateur de la courbe de Lorenz présente une convergence vers le régime asymptotique nettement plus lente. En raison de la structure de « saut » discrète de la distribution, l'estimateur traverse fréquemment les points de saut de l'inverse généralisé dans les échantillons finis, gonflant la variance au-delà de la prédiction de la méthode delta. Cet effet est particulièrement prononcé pour des valeurs de $p$ plus élevées. La simulation indique que la normalité asymptotique pour $\hat{L}(u)$ peut nécessiter des tailles d'échantillon sensiblement plus grandes pour être pratiquement fiable.

• Application aux données réelles :

  • La méthodologie a été appliquée au jeu de données des Federalist Papers sur le décompte des mots (fréquence du mot « may »). La loi géométrique a fourni un excellent ajustement (p-valeur de Pearson $\chi^2 = 0,783$).
  • L'indice de Gini estimé était $\hat{G} = 0,7162$ avec un intervalle de confiance à 95 % de $(0,6926, 0,7398)$, indiquant une forte concentration dans l'usage des mots.
  • La courbe de Lorenz ajustée a correctement capturé la caractéristique discrète où les 40 % les plus bas des blocs de texte (ceux ayant zéro occurrence) ne contribuent en rien au total, résultant en un segment plat à l'origine.

Signification et revendications
L'article affirme fournir un cadre inférentiel rigoureux pour les mesures d'inégalité dans les contextes discrets, étendant l'analyse classique basée sur Lorenz à un modèle de comptage discret fondamental. Les auteurs soulignent que, tandis que l'estimateur de l'indice de Gini permet une inférence asymptotique standard à partir de tailles d'échantillon modérées, l'estimateur de la courbe de Lorenz nécessite l'utilisation des distributions exactes dérivées pour une inférence précise, particulièrement dans les petits échantillons ou lorsque $p$ est élevé. Cette distinction met en évidence une différence fondamentale entre l'estimation de l'inégalité continue et discrète. Ce travail comble un vide spécifique dans la littérature où une théorie inférentielle systématique (couvrant les distributions exactes, la cohérence et la normalité asymptotique) pour les modèles paramétriques discrets faisait auparavant défaut.