Prescribed Performance Sway Suppression Control for Overhead Cranes under Friction and Actuator Saturation

Resumen Técnico: Control de Supresión de Oscilación con Desempeño Prescrito para Grúas Puente bajo Fricción y Saturación del Actuador

Planteamiento del Problema
Las grúas puente son sistemas subactuados críticos donde una única entrada de control (fuerza del carro) debe lograr simultáneamente un posicionamiento preciso del carro y la supresión de la oscilación de la carga. El despliegue práctico se ve obstaculizado por tres desafíos concurrentes que, a menudo, degradan el desempeño o inducen inestabilidad cuando se abordan de forma aislada:

1. Fricción Carro–Riel: Causa errores de estado estacionario, oscilaciones de tipo stick-slip y ciclos límite.
2. Saturación del Actuador: Los límites de entrada del motor pueden provocar el fenómeno de integrator windup (saturación del integrador) y una respuesta transitoria degradada.
3. Restricciones de Oscilación Transitoria: La ausencia de límites explícitos en el ángulo de oscilación durante el movimiento puede permitir amplitudes de balanceo inseguras antes de la convergencia.

La literatura existente suele abordar estos problemas por separado (por ejemplo, métodos lineales que carecen de compensación de fricción, o métodos no lineales que ignoran la saturación y las restricciones transitorias). Además, aunque la Linealización por Retroalimentación Parcial (PFL) es un enfoque estándar para sistemas subactuados, la integración de la estimación de fricción, mecanismos de anti-saturación y restricciones de desempeño prescrito dentro de un marco de PFL colocalizado unificado no se ha logrado previamente.

Metodología
Los autores proponen un marco de control unificado basado en la Linealización por Retroalimentación Parcial (PFL) Colocalizada que integra tres componentes clave:

1. Modelado del Sistema y Estimación de Fricción:

   • La grúa se modela como un sistema subactuado 2D con un modelo de fricción de Coulomb-viscosa regularizado para eliminar las discontinuidades en velocidad cero.
   • Se emplea el método de Mínimos Cuadrados Recursivos (RLS) para la estimación en línea de la ganancia del motor y los coeficientes de fricción ($b_\pm, c_\pm$). La dinámica del sistema se reordena en una forma afín al estado para facilitar esta regresión.

2. Arquitectura de Control:

   • PFL Colocalizada: El canal del carro, directamente actuado, se linealiza exactamente. La ley de control resuelve la fuerza de entrada para rastrear una entrada de aceleración virtual $v$, mientras que la oscilación de la carga (canal no colocalizado) se moldea indirectamente a través de la dinámica interna resultante.
   • Modificación Anti-Saturación: Se introduce un bucle de retroalimentación donde el error de saturación ($e_s = u - u^*_c$) se realimenta a la orden de control con una ganancia $\gamma$. Esto asegura una recuperación rápida de los límites del actuador sin alterar la estabilidad estructural de la dinámica interna.
   • Control de Desempeño Prescrito (PPF): Para imponer límites transitorios explícitos en el ángulo de oscilación $\theta(t)$, se define una Función de Desempeño Prescrito $\rho(t)$. Se utiliza un procedimiento de backstepping de dos pasos para inyectar la restricción PPF en la dinámica de oscilación de segundo grado relativo. Esto implica generar una referencia de velocidad virtual desde el error de PPF normalizado y diseñar el canal de aceleración para rastrearla, asegurando que el ángulo de oscilación permanezca estrictamente dentro de $-\rho(t) < \theta(t) < \rho(t)$.

3. Análisis de Estabilidad:

   • Se lleva a cabo un análisis de Lyapunov en dos etapas.
   • Etapa 1 (Transitoria): Argumentos de Estabilidad de Entrada a Estado (ISS) establecen la acotación uniforme de los errores de seguimiento durante la identificación de parámetros (RLS) y los transitorios de saturación.
   • Etapa 2 (Asintótica): Un argumento de Lyapunov–LaSalle demuestra la convergencia asintótica de la posición del carro y el ángulo de oscilación hacia cero, garantizando al mismo tiempo que la restricción PPF nunca se viole. El análisis confirma que los términos de acoplamiento cruzado en el diseño de backstepping se cancelan analíticamente, eliminando la necesidad de condiciones de ganancia restrictivas en el término de amortiguamiento.

Contribuciones Clave
El artículo identifica tres contribuciones principales:

1. Marco No Lineal Restringido Unificado: La primera integración de la estimación de fricción por RLS en línea, la modificación anti-saturación y la regulación de oscilación de desempeño prescrito dentro de una única arquitectura PFL colocalizada.
2. Límite Formal de Desempeño Transitorio: La imposición explícita de un envoltorio de seguridad variable en el tiempo para el ángulo de osculación de la carga durante todo el movimiento, asegurando que el ángulo nunca exceda un límite predefinido.
3. Análisis de Estabilidad Riguroso en Dos Etapas: Una prueba formal que establece la acotación durante la fase de identificación y la convergencia asintótica con satisfacción de restricciones posteriormente, abordando específicamente los efectos acoplados de la fricción, la saturación y el PPF.

Resultados de Simulación
Las simulaciones se realizaron utilizando parámetros físicos de una grúa Inteco 3D de referencia ($M=1.67$ kg, $m=0.73$ kg, $l=1.0$ m). El controlador PFL+PPF propuesto se comparó con:

• PFL (No Lineal): PFL sin PPF.
• LQR+sat: Un Regulador Cuadrático Lineal saturado con recorte duro pero sin mecanismo de recuperación.
• PD Energy: Un controlador basado en PD sin compensación de fricción ni manejo de saturación.

Métricas de Desempeño Clave:

• Ángulo de Oscilación Pico: El PFL+PPF logró el ángulo de oscilación pico más bajo con 7.4°, frente a 8.9° (PFL), 11.7° (LQR+sat) y 19.2° (PD Energy).
• Disipación de Energía: El controlador propuesto disipó la energía de oscilación más rápido, alcanzando niveles despreciables en 4 segundos, superando a los demás (4.5s para PFL/LQR, y no convergente para PD).
• Satisfacción de Restricciones: Solo el controlador PFL+PPF mantuvo estrictamente el ángulo de oscilación dentro del límite temporal variable $\pm\rho(t)$ en todo momento.
• Compensación de Fricción: La base PD exhibió una oscilación de ciclo límite persistente debido a la fricción no compensada, mientras que todos los controladores con compensación de fricción convergieron asintóticamente.
• Robustez: El controlador PFL+PPF mantuvo el desempeño y respetó el límite PPF bajo:
  • Variación de masa de la carga de ±30%.
  • Variación de longitud de la cuerda de ±20%.
  • Un impulso de viento de 0.3 N.
  • No se requirió reajuste del controlador para estas variaciones.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores afirman que este trabajo llena un vacío crítico al integrar la compensación de fricción, la recuperación de saturación y las restricciones de oscilación transitoria en una sola ley de control. A diferencia de enfoques anteriores que tratan estas no linealidades por separado, el marco propuesto demuestra que estos componentes pueden unificarse dentro de una estructura PFL colocalizada.

El artículo señala modestamente que el estudio actual se limita a un modelo planar 2D con fricción de un solo eje. Los autores declaran que el trabajo futuro extenderá este marco a configuraciones de grúa 3D con dinámica de doble péndulo y longitudes de cuerda variables, y buscarán la validación de hardware-in-the-loop en la plataforma Inteco 3D. La significancia del presente trabajo radica en proporcionar una base rigurosa y prácticamente verificable para el manejo de estas no linealidades complejas y acopladas antes de tales extensiones.