T_root: A Comprehensive Closed-Form Statistic for Independence in Sparse and Heterogeneous Contingency Tables

Resumen Técnico: $T_{root}$ para la Independencia en Tablas de Contingencia Esparsas y Heterogéneas

Planteamiento del Problema
La prueba de independencia en tablas de contingencia de dos vías es un procedimiento fundamental en la medicina y las ciencias sociales; sin embargo, los métodos estándar existentes fallan en dos regímenes críticos y comunes. Primero, la escasez (sparsity): cuando los conteos esperados por celda son pequeños, el estadístico chi-cuadrado de Pearson se infla debido a las colas residuales pesadas en las celdas esparsas, mientras que la prueba exacta de Fisher se vuelve excesivamente conservadora, perdiendo potencia estadística significativa. Segundo, la heterogeneidad marginal: las tablas del mundo real suelen tener totales de filas y columnas altamente desiguales. Bajo tales condiciones, la distribución nula del estadístico de Pearson se desvía de la distribución chi-cuadrado tanto en media como en varianza, lo que provoca que la prueba sea liberal o conservadora dependiendo de la estructura de los márgenes. Ningún estadístico fijo existente (inclu la familia de divergencia de potencia de Cressie-Read) mantiene tanto la calibración (error de Tipo I correcto) como la potencia a través de todo el plano de la forma de la tabla, la escasez y el equilibrio marginal.

Metodología: El Estadístico $T_{root}$
El artículo propone $T_{root}$, un estadístico de forma cerrada y libre de parámetros, diseñado para permanecer calibrado a través de estos diversos regímenes. La construcción se basa en tres componentes principales:

1. Estabilización de la Varianza mediante la Raíz de Anscombe: En lugar de utilizar la métrica de Pearson $(O-E)^2/E$, que permite que las celdas pequeñas dominen la suma, $T_{root}$ transforma cada conteo observado $O_{ij}$ utilizando la transformación de Anscombe: $A(x) = 2\sqrt{x + 3/8}$. Esto estabiliza la varianza del conteo de Poisson a aproximadamente 1, independientemente del conteo esperado, evitando que las celdas esparsas inflen el estadístico.
2. Centrado Condicional Exacto a los Márgenes: Los residuos transformados no se centran en el conteo esperado $A(E_{ij})$, sino en su media condicional exacta bajo la hipótesis nula dados los márgenes observados: $\mu_{ij} = E[A(O_{ij}) \mid \text{márgenes}]$. Este condicionamiento asegura que el valor esperado de la suma de los cuadrados de los residuos sea una identidad exacta, $E[S] = \sum \text{Var}(A(O_{ij}))$, eliminando la necesidad de constantes ajustadas o proyecciones de apalancamiento utilizadas en aproximaciones previas.
3. Referencia de Chi-Cuadrado de Tres Momentos: La suma de los cuadrados de los residuos centrados, $S = \sum (A(O_{ij}) - \mu_{ij})^2$, se refiere a una distribución chi-cuadrado de tres momentos. La distribución de referencia se construye utilizando los tres primeros cumulantes exactos de $S$ bajo la nula condicional a los márgenes.
   • El primer cumulante (media) es exacto debido al centrado.
   • El segundo y tercer cumulante (varianza y asimetría) se derivan dividiendo el cálculo: las contribuciones diagonales (por celda) se toman exactamente de las tablas de momentos condicionales, mientras que las contribuciones fuera de la diagonal (covarianza entre celdas) se aproximan utilizando una identidad de forma cuadrática gaussiana. Esta división es computacionalmente eficiente (estructura de bajo rango) y necesaria, ya que omitir los términos fuera de la diagonal (como en trabajos anteriores) conduce a una subestimación de la varianza y la asimetría, causando tasas liberales de error Tipo I.

Alcance y Alternativa (Fallback)
El estadístico es válido para tablas donde el conteo esperado promedio es suficiente (aproximadamente $\ge 6$) y la tabla no colapsa (es decir, no hay filas/columnas vacías tras el condicionamiento). Por debajo de este umbral, o en casos de heterogeneidad extrema donde la tabla realizada colapsa a menos de $2 \times 2$ celdas no vacías, el método redirige el análisis a la prueba exacta condicional a los márgenes (extensión de Freeman-Halton de la prueba exacta de Fisher). Este cribado se basa en el conteo esperado promedio, no en el coeficiente de variación de los conteos esperados ($CV_e$), ya que este último es un diagnóstico del fallo de otros tests, no del propio $T_{root}$.

Resultos Clave
Simulaciones extensas de Monte Carlo (cubriendo 4,950 formas de tablas desde $2 \times 2$ hasta $100 \times 100$, varios niveles de escasez y once niveles de heterogeneidad marginal) demuestran:

• Calibración: $T_{root}$ mantiene el tamaño nominal (0.05) en todo el plano de escasez y heterogeneidad. Su error absoluto medio de tamaño sobre 378,415 celdas bien estimadas es 0.0099, superando significativamente al estadístico de potencia-divergencia 2/3 de Cressie-Read (0.0238) y al chi-cuadrado de Pearson (0.0412).
• Robustez ante la Heterogeneidad: Mientras que el chi-cuadrado de Pearson se vuelve cada vez más liberal a medida que aumenta la heterogeneidad marginal (alcanzando 0.171 con un $CV_e$ alto) y el estadístico de potencia-divergencia 2/3 de Cressie-Read se vuelve conservador, $T_{root}$ permanece estable cerca de 0.05.
• Potencia: Donde tanto $T_{root}$ como el chi-cuadrado de Pearson controlan el tamaño, su potencia es casi idéntica. En la "zona de colapso" donde el 2/3 de Cressie-Read falla (volviéndose conservador), $T_{root}$ recupera aproximadamente el doble de potencia.
• Comparación con Mielke-Berry: Al compararse contra una referencia de tipo Pearson III de tres momentos ajustada a los momentos condicionales exactos de $X^2$ (el método Mielke-Berry), $T_{root}$ permanece calibrado en niveles altos de heterogeneidad donde la referencia de Mielke-Berry se vuelve liberal debido al crecimiento ilimitado de la asimetría de $X^2$. La raíz de estabilización de la varianza mantiene la asimetría de $T_{root}$ lo suficientemente pequeña como para que la aproximación de tres momentos siga siendo precisa.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo sostiene que $T_{root}$ proporciona una solución integral de un solo estadístico para la independencia en tablas de contingencia, subsumiendo el conjunto fragmentado de pruebas exactas, asintóticas y corregidas.

• Integralidad: Es el primer estadístico que mantiene simultáneamente la calibración y la potencia a través del plano completo de la forma de la tabla, la escasez y el equilibrio marginal.
• Forma Cerrada y Determinista: No requiere permutaciones, bootstrap ni parámetros de ajuste, produciendo un valor p determinista único tan rápido como el chi-cuadrado de Pearson.
• Innovación Estructural: La principal contribución metodológica es la combinación específica de la transformación de Anscombe con el centrado exacto condicional a los márgenes, lo que crea una identidad para la media del estadístico, y la inclusión de los términos de covarianza fuera de la diagonal en el cálculo de los cumulantes, lo que corrige el sesgo liberal de los estadísticos basados en raíces anteriores.
• Utilidad Práctica: Simplifica la práctica al reemplazar complejos árboles de decisión (elegir entre pruebas exactas, asintóticas o corregidas basadas en reglas empíricas) con un solo estadístico y un simple cribado binario basado en los conteos esperados.

Los autores enfatizan que, si bien la construcción utiliza herramientas establecidas (transformación de Anscombe, familia de potencia-divergencia, referencias de ajuste de momentos), la configuración específica y el registro de calibración resultante en todo el espacio de parámetros constituyen la contribución novedosa. El artículo reconoce que la validez depende de la nula condicional a los márgenes (una elección de modelado), pero argumenta que esto es coherente con la prueba de respaldo exacta y que el desempeño incondicional (bajo márgenes aleatorios) ha sido verificado empíricamente como nominal.