T_root: A Comprehensive Closed-Form Statistic for Independence in Sparse and Heterogeneous Contingency Tables

技術要約：疎および不均一な分割表における独立性のための $T_{root}$

問題提起
二元分割表における独立性の検定は、医学や社会科学における基本的な手続きであるが、既存の標準的な手法は、二つの極めて一般的かつ重要な領域において失敗する。第一に、**疎性（sparsity）**である。期待度数が小さい場合、ピアソンのカイ二乗統計量は、疎なセルにおける重い残差の裾によって統計量が膨張し、一方でフィッシャーの正確検定は過度に保守的になり、統計的検出力を失う。第二に、**周辺分布の不均一性（marginal heterogeneity）**である。現実世界の表では、行および列の合計が著しく不均衡であることが多い。このような条件下では、ピアソンの統計量の零分布は、平均と分散の両方においてカイ二乗分布から逸脱し、その結果、検定がリベラル（有意になりすぎる）になったり、保守的（有意になりにくくなる）になったりする。既存の固定統計量（Cressie-Readの冪偏差族を含む）の中で、表の形状、疎性、および周辺のバランスの全平面にわたって、較正（正しい第一種の過誤）と検出力の両方を維持できるものは存在しない。

手法：$T_{root}$ 統計量
本論文は、これらの多様な領域において較正を維持するように設計された、パラメータフリーの閉形式の統計量 $T_{root}$ を提案している。その構成は、以下の三つの核となる要素に基づいている。

1. Anscombeの平方根による分散安定化： 小さなセルが和を支配してしまうピアソン・メトリック $(O-E)^2/E$ を使用する代わりに、$T_{root}$ は各観測度数 $O_{ij}$ をAnscombe変換 $A(x) = 2\sqrt{x + 3/8}$ を用いて変換する。これにより、期待度数に関わらず、ポアソン度数の分散を近似的に1に安定させ、疎なセルが統計量を膨張させるのを防ぐ。
2. 正確な周辺条件付き中心化： 変換された残差は、期待度数 $A(E_{ij})$ ではなく、観測された周辺度数が与えられた下での正確な条件付き平均 $\mu_{ij} = E[A(O_{ij}) \mid \text{margins}]$ で中心化される。この条件付けにより、二乗残差の和の期待値が正確な恒等式 $E[S] = \sum \text{Var}(A(O_{ij}))$ となり、従来の近似法で使用されていた適合定数やレバレッジ投影の必要性が排除される。
3. 三次のモーメントによるカイ二乗参照： 中心化された残差の二乗和 $S = \sum (A(O_{ij}) - \mu_{ij})^2$ は、三次のモーメントを持つカイ二乗分布に参照される。参照分布は、周辺条件付き零仮説の下での $S$ の正確な最初の三つの累積モーメントを用いて構築される。
   • **第一累積モーメント（平均）**は、中心化により正確である。
   • **第二および第三の累積モーメント（分散と歪度）**は、計算を分割することで導出される。対角成分（セルごと）の寄与は条件付きモーメント表から正確に取得し、非対角成分（セル間の共分散）の寄与はガウス型二次形式の恒等式を用いて近似する。この分割は計算効率（低ランク構造）のために必要であり、以前の研究のように非対角項を省略すると、分散と歪度の過小予測を招き、リベラルな第一種の過誤を引き起こす原因となる。

範囲とフォールバック
本統計量は、平均期待度数が十分（約6以上）であり、かつ表が崩壊していない（条件付け後に空の行や列が存在しない）表に対して有効である。この閾値を下回る場合、または極端な不均一性により実現された表が $2 \times 2$ 未満の非空セルに収束する場合、本手法は正確な周辺条件付き検定（フィッシャーの正確検定のFreeman-Halton拡張）へと処理をルーティングする。このスクリーニングは、期待度数の変動係数（$CV_e$）ではなく、平均期待度数に基づいている。なぜなら、$CV_e$ は $T_{root}$ 自体の失敗を示す診断指標ではなく、他の検定の失敗を示す指標だからである。

主な結果
（$2 \times 2$ から $100 \times 100$ までの4,950種類の表の形状、様々な疎性レベル、および11段階の周辺不均一性をカバーする）広範なモンテカルロ・シミュレーションにより、以下のことが示された。

• 較正（Calibration）： $T_{root}$ は、疎性と不均一性の全平面において、公称サイズ（0.05）を維持する。377,415個の適切に推定されたセルにおける平均絶対サイズ誤差は0.0099であり、Cressie-Readの2/3統計量（0.0238）およびピアソンのカイ二乗（0.0412）を大幅に上回る性能を示した。
• 不均一性への堅牢性： ピアソンのカイ二乗が周辺の不均一性が高まるにつれてリベラルになる（高い $CV_e$ で0.171に達する）一方で、Cressie-Readの2/3統計量は保守的になるが、$T_{root}$ は0.05付近で安定している。
• 検出力： $T_{root}$ とピアソンのカイ二乗の両方がサイズを制御できる領域では、両者の検出力はほぼ同一である。Cressie-Readの2/3が失敗（保守的になる）する「崩壊ゾーン」において、$T_{root}$ は約2倍の検出力を回復する。
• Mielke-Berryとの比較： ピアソンの $X^2$ の正確な条件付きモーメントに適合させた三次のモーメント・ピアソン・タイプIII参照（Mielke-Berry法）と比較した場合、$T_{root}$ は、不均一性が高いレベルで $X^2$ の歪度が無制限に増大し、Mielke-Berryの参照がリベラルになる状況においても、較正を維持した。分散安定化平方根を用いることで、$T_{root}$ の歪度は三次のモーメント近似が正確に機能する程度に小さく保たれている。

意義と主張
本論文は、$T_{root}$ が分割表の独立性に関する包括的な単一統計量ソリューションを提供し、断片化されたツールキット（正確検定、漸近検定、修正検定）を統合するものであると主張している。

• 包括性： 表の形状、疎性、および周辺のバランスの全平面において、較正と検出力を同時に保持する初の統計量である。
• 閉形式かつ決定的： 置換、ブートストラップ、またはチューニングパラメータを必要とせず、ピアソンのカイ二乗と同等の速度で、単一の決定論的なp値を生成する。
• 構造的革新： 主要な方法論的貢献は、Anscombe変換と正確な周辺条件付き中心化の特定の組み合わせであり、これにより統計量の平均に対する恒等性が作成されること、および非対角共分散項を累積モーメント計算に含めることで、従来の平方根ベースの統計量が陥っていたリベラルなバイアスを修正したことにある。
• 実用的有用性： 経験則に基づく複雑な意思決定ツリー（正確検定、漸近検定、または修正検定の選択）を、単一の統計量と期待度数に基づく単純な二値スクリーニングに置き換えることで、実務を簡素化する。

著者らは、本手法の構築には確立されたツール（Anscombe変換、冪偏差族、モーメント一致参照）を利用しているものの、特定の構成および全パラメータ空間にわたる結果としての較正記録こそが新規の貢献であると強調している。本手法の妥当性は周辺条件付き零仮説（モデリングの選択）に依存していることを認めているが、これは正確なフォールバック検定と整合しており、無条件の性能（ランダムな周辺度数の下での性能）も経験的に公称通りであることが検証されている。