Geometry-Preserving Optimal Control of Implicitly Singularly Perturbed Systems with Sliding and Exit Constraints

Resumen Técnico: Control Óptimo de Sistemas con Preservación de la Geometría para Sistemas Implícitamente Singularmente Perturbados

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la regulación óptima de una clase de sistemas no lineales implícitamente singularmente perturbados donde un coeficiente dependiente del estado pierde rango en una hipersuperficie dinámicamente accesible. El sistema se modela como:
$$\begin{cases} \dot{x} = f(x, y) + B(x, y)u \\ \phi(y) \dot{y} = g(x, y) \end{cases}$$
donde $\phi(y^*) = 0$ y $\phi'(y^*) \neq 0$. La entrada de control $u$ actúa únicamente en la ecuación "ordinaria" ($\dot{x}$), dejando la ecuación singular ($\phi(y)\dot{y} = g$) sin actuador. Esta estructura crea una hipersuperficie singular $S = \{y = y^*\}$ donde el campo vectorial se vuelve ilimitado ($g/\phi \to \infty$). El objetivo de control consiste en dirigir el sistema gestionando la atracción hacia $S$ y evitando la "salida" del dominio de deslizamiento (donde $g(x, y^*) \neq 0$), sin desplazar la propia geometría singular.

Metodología
El autor propone una regularización de Cauchy recíproca para manejar la singularidad. En lugar de depender de las construcciones clásicas de conjuntos de valor de Filippov o de los límites de perturbación singular asintótica ($\epsilon \to 0$), introduce un parámetro de regularización $\epsilon > 0$ y define un campo regularizado:
$$R_\epsilon(y) = \frac{\phi(y)}{\phi(y)^2 + \epsilon^2}$$
El sistema regularizado es:
$$\begin{cases} \dot{x} = f(x, y) + B(x, y)u \\ \dot{y} = g(x, y)R_\epsilon(y) \end{cases}$$
Características metodológicas clave incluyen:

1. Invariancia Exacta: Para cualquier $\epsilon > 0$, el hiperplano $S = \{y = y^*\}$ es un conjunto invariante exacto porque $R_\epsilon(y^*) = 0$. La dinámica restringida a $S$ es independiente de $\epsilon$.
2. Atracción Normal: La regularización induce una tasa de atracción normal hacia $S$ de orden $O(\epsilon^{-2})$, asegurando un colapso rápido de las trayectorias que comienzan cerca de $S$.
3. Separación de Preocupaciones: El artículo distingue entre el problema de control óptimo en la variedad (restringido a $S$) y el análisis de consistencia fuera de la variedad. Trata la evitación de la salida como un problema de control óptimo con restricciones de estado (OCP) separado del filtrado de seguridad en tiempo real mediante Funciones de Barrera de Control (CBF).

Contribuciones Claves
El artículo realiza las siguientes contribuciones específicas:

• Arquitectura de Canal Regular: Una estructura de control que modifica el movimiento tangencial sin alterar la ubicación de la hipersuperficie singular o su frontera de salida.
• Reducción de Invariancia Exacta: Prueba de que la regularización recíproca selecciona una dinámica de deslizamiento única e independiente de $\epsilon$ en $S$ para cada $\epsilon > 0$. Esta es una reducción exacta de dimensión finita, no una aproximación asintótica.
• Estimaciones Cuantitativas:
  • Contracción Normal: Las trayectorias se contraen hacia $S$ a una tasa proporcional a $\epsilon^{-2}$.
  • Desviación Tangencial: Para desplazamientos normales iniciales de tamaño $O(\epsilon)$, la desviación tangencial entre las trayectorias regularizadas y reducidas es $O(\epsilon^3)$ en horizontes finitos fijos.
• Teorema de Equivalencia Exacta: Si el estado inicial, la referencia y el objetivo terminal se encuentran en $S$, el problema de control óptimo regularizado completo y el problema reducido de menor dimensión son idénticos para cada $\epsilon > 0$. Comparten los mismos mapas de estado, costos, valores óptimos, minimizadores y sistemas del Principio de Mínimo de Pontryagin (PMP).
• Consistencia Fuera de la Variedad: Para estados iniciales con desplazamientos de $O(\epsilon)$, la diferencia de costo entre los problemas regularizado y reducido es $O(\epsilon^3)$, siempre que el tiempo de inicio esté alejado del tiempo terminal.
• Certificación de Seguridad: Se utiliza un argumento de Lyapunov no lineal basado en un modelo base de Regulador Cuadrático Lineal (LQR) para certificar un elipsoide seguro invariante que está estrictamente separado de la superficie de salida singular.
• Manejo de Restricciones: La formulación separa las restricciones de trayectoria (gestionadas mediante la teoría de OCP con restricciones de estado) de las capas de seguridad en tiempo real (CBF/HOCBF), aclarando que los filtros de barrera son modificaciones instantáneas y no optimizadores de horizonte global.

Resultados y Validación
El marco teórico se valida a través de varios ejemplos:

1. Sistema Duffing–Rayleigh: Un ejemplo no lineal 3D donde el autor:
   • Diseñó un controlador LQR para la dinámica de deslizamiento seleccionada.
   • Computó un elipsoide seguro no lineal certificado ($\rho_{safe} \approx 1.50$) que garantiza la compatibilidad del actuador y la separación de la frontera de salida.
   • Resolvió un OCP de horizonte finito con restricciones mediante transcripción directa (SLSQP) y lo verificó con IPOPT. La solución con restricciones satisfizo las restricciones de trayectoria con un costo menor que el LQR filtrado por HOCBF.
   • Demostró que las simulaciones regularizadas completas con $\epsilon \in \{0.2, 0.1, 0.05, 0.0225\}$ colapsan sobre las dinámicas seleccionadas, con errores tangenciales que escalan como $O(\epsilon^4)$ para este ejemplo específico (debido a la dependencia tangencial cuadrática) y $O(\epsilon^3)$ para un ejemplo de seguimiento general.
2. Ejemplos Analíticos:
   • Un problema de transferencia de energía mínima exactamente resoluble donde se demuestra analíticamente que la trayectoria óptima evita la salida singular.
   • Un sistema de múltiples entradas de mayor dimensión que demuestra la aplicabilidad del marco más allá de los modos de deslizamiento 2D.
   • Un problema de seguimiento periódico que muestra cómo un seguimiento LQ sin restricciones puede mantener naturalmente un margen de seguridad sin la imposición explícita de restricciones.
3. Simulacro de Maquinaria Rotativa: Un modelo adimensional de sobreimpulso (surging) en bombas con cavitación ilustra la aplicación de la actuación de canal regular en un contexto mecánico sin pretender la identificación de parámetros a partir de datos experimentales.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo sostiene que su principal significancia radica en proporcionar un marco de preservación de la geometría que evita las ambigüedades de las soluciones clásicas de Filippov para campos vectoriales ilimitados. Al utilizar la regularización recíproca, el autor establece:

• Exactitud: La equivalencia entre los problemas regularizado y reducido es exacta para todo $\epsilon > 0$, no solo en el límite.
• Claridad Estructural: El método separa explícitamente la geometría singular (que es fija) de la acción de control (que da forma al movimiento tangencial).
• Rigor Cuantitativo: Proporciona límites explícitos sobre la convergencia fuera de la variedad y la seguridad, yendo más allá de los argumentos cualitativos de los modos de deslizamiento.

El autor señala modestamente las limitaciones: la equivalencia exacta se mantiene estrictamente para datos sobre la variedad; no se reclama la convergencia fuera de la variedad de los coestados; y la teoría es "libre de eventos", lo que significa que no optimiza trayectorias que cruzan la frontera singular (ejección y reentrada), lo cual requeriría técnicas de control óptimo híbrido. El trabajo se presenta como un avance estructural y analítico para una clase específica de sistemas implícitamente singularmente perturbados, ofreciendo una alternativa rigurosa a las teorías estándar de perturbación singular y control de sistemas de ecuaciones diferenciales algebraicas (DAE).