Geometry-Preserving Optimal Control of Implicitly Singularly Perturbed Systems with Sliding and Exit Constraints

技術要約：暗黙的な特異摂動系における幾何学的保存型最適制御

問題設定
本論文は、状態依存係数が動的にアクセス可能な超平面上でランクを失う、暗黙的な特異摂動を持つ非線形系のクラスにおける最適制御を取り扱う。システムは以下のようにモデル化される：
$$\begin{cases} \dot{x} = f(x, y) + B(x, y)u \\ \phi(y) \dot{y} = g(x, y) \end{cases}$$
ここで、$\phi(y^*) = 0$ かつ $\phi'(y^*) \neq 0$ である。制御入力 $u$ は「通常の」方程式（$\dot{x}$）にのみ作用し、特異方程式（$\phi(y)\dot{y} = g$）には作用しない。この構造により、ベクトル場が発散する（$g/\phi \to \infty$）特異超平面 $S = \{y = y^*\}$ が生成される。制御目的は、システムの挙見を制御しつつ、$S$ への吸引を管理し、かつ特異な幾何学自体を動かすことなく、スライディング領域からの「脱出」（$g(x, y^*) \neq 0$）を回避することである。

手法
著者は、この特異性を処理するために**相反的コーシー正則化（reciprocal Cauchy regularization）**を提案している。古典的なフィリッポフの集合値構成や漸近的な特異摂動極限（$\epsilon \to 0$）に頼る代わりに、正則化パラメータ $\epsilon > 0$ を導入し、以下の正則化された場を定義する：
$$R_\epsilon(y) = \frac{\phi(y)}{\phi(y)^2 + \epsilon^2}$$
正則化されたシステムは以下の通りとなる：
$$\begin{cases} \dot{x} = f(x, y) + B(x, y)u \\ \dot{y} = g(x, y)R_\epsilon(y) \end{cases}$$
主要な手法の特徴は以下の通りである：

1. 厳密な不変性： 任意の $\epsilon > 0$ に対して、超平面 $S = \{y = y^*\}$ は厳密な不変集合となる。なぜなら $R_\epsilon(y^*) = 0$ だからである。$S$ に制限された動力学は $\epsilon$ に依存しない。
2. 法線方向の吸引： この正則化は、$S$ に対して $O(\epsilon^{-2})$ の次数の法線方向の吸引率を誘起し、$S$ の近傍から始まる軌跡の急速な収束を保証する。
3. 関心の分離： 本論文では、**オン・マニフォールド（多様体上）**の最適制御問題（$S$ に制限されたもの）と、**オフ・マニフォールド（多様体外）**の一貫性解析を区別している。脱出回避については、リアルタイムの安全性フィルタリングとしての制御バリア関数（CBF）とは別に、状態制約付き最適制御問題（OCP）として扱う。

主な貢献
本論文の具体的な貢献は以下の通りである：

• レギュラー・チャネル・アーキテクチャ： 特異な超平面の位置やその脱出境界を変更することなく、接線方向の運動を修正する制御構造。
• 厳密な不変減少： 相反的正則化が、すべての $\epsilon > 0$ に対して、一意で $\epsilon$ に依存しないスライディング動力学を $S$ 上に選択することを証明した。これは漸近的な近似ではなく、厳密な有限次元減少である。
• 定量的推定：
  • 法線方向の収縮： 軌跡は $O(\epsilon^{-2})$ の割合で $S$ に向かって収縮する。
  • 接線方向の偏差： 初期法線オフセットのサイズが $O(\epsilon)$ である場合、正則化された軌跡と減少された軌跡の間の接線方向の偏差は、固定された有限ホライゾンにおいて $O(\epsilon^3)$ である。
• 厳密な等価性定理： 初期状態、参照値、および終端目標が $S$ 上にある場合、完全な正則化最適制御問題と、低次元の減少された問題は、すべての $\epsilon > 0$ において同一である。これらは同じ状態写像、コスト、最適値、およびポントリャーギン最小原理（PMP）系を共有する。
• オフ・マニフォールドの一貫性： 初期状態が $O(\epsilon)$ のオフセットを持つ場合、開始時刻が終端時刻から離れている限り、正則化された問題と減少された問題の間のコスト差は $O(\epsilon^3)$ である。
• 安全性認証： 線形二次レギュレータ（LQR）をベースラインとした非線形リアプノフ引数を用いて、特異な脱出面から厳密に分離された不変安全楕円体を認証する。
• 制約処理： パス制約（状態制約付きOCP理論によって処理）と、リアルタイムの安全性レイヤー（CBF/HOCBF）を分離しており、バリアフィルタはグローバルなホライゾン最適化器ではなく、瞬時的な修正であることを明確にしている。

結果と検証
理論的枠組みは、以下の例を通じて検証されている：

1. ダフィン・レイリー系： 著者が以下の操作を行った3次元非線形例：
   • 選択されたスライディング動力学に対してLQRコントローラを設計した。
   • アクチュエータの適合性と脱出境界からの分離を保証する、認証された非線形安全楕円体（$\rho_{safe} \approx 1.50$）を算出した。
   • 直接転送法（SLSQP）を用いて制約付き有限ホライゾンOCPを解き、IPOPTによる検証を行った。制約付き解は、HOCBFフィルタリングされたLQRよりも低いコストでパス制約を満たした。
   • $\epsilon \in \{0.2, 0.1, 0.05, 0.025\}$ における完全な正則化シミュレーションが、選択された動力学へと収束することを示した。この特定の例では、接線方向の依存性が二次的であるため、接線誤差は $O(\epsilon^4)$ でスケールし、一般的なトラッキング例では $O(\epsilon^3)$ となる。
2. 解析的例：
   • 最適軌跡が特異な脱出を回避することが解析的に証明された、厳密に解ける最小エネルギー転送問題。
   • 2次元のスライディングモードを超えた本フレームワークの適用可能性を示す、高次元マルチ入力システム。
   • 非制約のLQトラッキングが、明示的な制約の賦課なしに自然に安全マージンを維持できることを示す周期トラッキング問題。
3. ターボ機械サロゲート： キャビテーションを起こすポンプのサージングの無次元モデルは、実験データからのパラメータ同定を主張することなく、レギュラー・チャネル駆動の適用例を示している。

意義と主張
本論文の主要な意義は、非有界なベクトル場に対する古典的なフィリッポフ解の曖昧さを回避する、幾何学的保存型のフレームワークを提供することにある。相反的正則化を用いることで、著者は以下を確立している：

• 厳密性： 正則化された問題と減少された問題の間の等価性は、単なる極限においてだけでなく、すべての $\epsilon > 0$ において厳密に成立する。
• 構造的明晰さ： この手法は、特異な幾何学（これは固定されている）と、制御作用（これは接線方向の運動を形成する）を明示的に分離する。
• 定量的厳密性： 定性的なスライディングモードの議論を超え、オフ・マニフォールドへの収束と安全性に関する明示的な境界を提供する。

著者は、限界についても謙虚に述べている。すなわち、厳密な等価性はオン・マニフォールドのデータに対してのみ厳密に成立すること、オフ・マニフォールドにおける余共役変数の収束については主張していないこと、そして本理論は「イベントフリー」であり、特異境界を横断する（放出および再突入）軌道を最適化するものではない（それにはハイブリッド最適制御技術が必要となる）ことである。本研究は、特定のクラスの暗黙的な特異摂動系に対する、構造的かつ解析的な進歩として提示されている。