A New Approximation to the Normal Distribution Quantile Function

Résumé technique : Une nouvelle approximation de la fonction quantile de la distribution normale

Énoncé du problème
L'article traite de la nécessité d'une approximation efficace sur le plan computationnel de la fonction quantile de la distribution normale, $N^{-1}(x)$, qui est l'inverse de la fonction de répartition (CDF). Bien que les méthodes existantes, telles que l'approximation de Beasley-Springer [3] et l'approximation d'Acklam [2], offrent une grande précision, l'auteur identifie un besoin spécifique pour une méthode qui privilégie la vitesse tout en maintenant des résultats « raisonnablement précis » (spécifiquement, une erreur absolue maximale inférieure à $4,5 \cdot 10^{-4}$, comparable à l'approximation d'Abramowitz-Stegun [1]). Le défi principal consiste à réduire le coût de calcul des opérations coûteuses, spécifiquement les logarithmes et les racines carrées, qui sont typiquement requises pour les calculs de queues de distribution.

Méthodologie
L'approche proposée suit le cadre établi consistant à séparer le domaine en une large région centrale et des queues étroites, en exploitant la symétrie impaire de $N^{-1}(x - 1/2)$. Cependant, l'auteur introduit une modification aux schémas de fonctions rationnelles utilisés pour l'approximation :

1. Approximation de la région centrale :

   • Au lieu des schémas d'ordre supérieur utilisés par Beasley-Springer (un schéma (3,4)) ou Acklam (un schéma (5,5)), cet article propose un schéma (2,2) pour la région centrale.
   • La fonction est définie par $f(p) = q \frac{a_2 r^2 + a_1 r + a_0}{r^2 + b_1 r + b_0}$, où $q = p - 0,5$ et $r = q^2$.
   • Deux variantes sont présentées :
     • Rat22A : Utilise des limites à $p = 0,0465$ et $p = 0,9535$.
     • Rat22B : Utilise des limites plus larges à $p = 0,025$ et $p = 0,975$ pour réduire davantage la fréquence des calculs de queues.
   • Les coefficients ont été dérivés en utilisant la fonction minimax du package numapprox de Maple afin de minimiser l'erreur absolue maximale (approximation de Chebyshev).

2. Approximation de la région de queue :

   • Pour les queues ($p < 0,0465$ et $p > 0,9535$), un schéma (3,2) est employé.
   • L'approximation utilise la variable $r = \sqrt{\log(1/p^2)}$ (ou $\sqrt{\log(1/(1-p)^2)}$ pour la queue supérieure).
   • La fonction est définie comme une fonction rationnelle de $r$ : $f_{tail}(p) = \frac{c_3 r^3 + c_2 r^2 + c_1 r + c_0}{r^2 + d_1 r + d_0}$.
   • Les coefficients ont été également optimisés via l'algorithme minimax de Maple.

3. Techniques d'optimisation :

   • Les fonctions rationnelles sont structurées pour minimiser le nombre de multiplications (par exemple, en normalisant le dénominateur pour que le coefficient principal soit de 1).
   • La région centrale plus large (Rat22B) est spécifiquement conçue pour réduire le nombre de fois où les opérations de calcul coûteuses log et sqrt doivent être exécutées.

Contributions clés et résultats

• Précision : La nouvelle approximation (2,2) de la région centrale atteint une erreur absolue maximale d'environ $2,5 \cdot 10^{-5}$ dans la région centrale et $2,458 \cdot 10^{-5}$ dans les queues. L'erreur absolue maximale totale est inférieure à $2,5 \cdot 10^{-5}$.
  • Note sur la précision : L'auteur reconnaît explicitement que cela est moins précis que l'approximation de Beasley-Springer (qui possède une erreur inférieure à $1,85 \cdot 10^{-9}$ dans la région centrale) et l'approximation d'Acklam.
• Performance : La contribution principale est la vitesse. Des tests de performance effectués sur un Dell Inspiron 1525 (Intel Core 2 Duo T5800, 2,00 GHz) utilisant Java (JDK 1.6.0 17) sur 200 000 itérations ont donné les résultats suivants :
  • Abramowitz-Stegun (AS) : 25 210 ms
  • Beasley-Springer (BS) : 10 212 ms
  • Rat22A (Nouveau, centre étroit) : 8 052 ms
  • Rat22B (Nouveau, centre large) : 6 649 ms
• Gains d'efficacité : Les nouvelles approximations sont nettement plus rapides que les méthodes existantes. La comparaison entre Rat22A et Rat22B démontre que la réduction du sous-ensemble de valeurs nécessitant des calculs log et sqrt d'environ 50 % (en élargissant la région centrale) a réduit le temps CPU de près de 20 %.

Signification et revendications
L'article soutient que, bien que la proposition d'approximation sacrifie une partie de la précision par rapport aux méthodes de pointe comme Beasley-Springer, ce compromis est justifié par le gain substantiel de vitesse de calcul. L'auteur affirme qu'une marge d'erreur inférieure à $2,5 \cdot 10^{-5}$ est « suffisante pour de nombreuses applications », citant explicitement les marchés financiers comme un domaine où la vitesse est cruciale.

De plus, l'article revisite les approximations d'Abramowitz-Stegun (équations 26.2.22 et 26.2.23 dans [1]). L'auteur présente des coefficients améliorés pour ces équations qui offrent une précision plus de cinq fois supérieure à l'originale dans la plage représentable standard IEEE-754, bien que la précision se dégrade à mesure que la plage approche des extrêmes de 0 et 1.

En résumé, ce travail fournit une alternative « plus rapide » aux approximations établies de la fonction quantile, privilégiant le temps d'exécution pour les applications où la limite d'erreur légèrement plus élevée reste acceptable.