Cohomology of Jacobi forms

Résumé technique : Cohomologie des formes de Jacobi

Énoncé du problème
L'article traite du calcul des cohomologies continues pour les structures non commutatives sur les variétés, spécifiquement dans le contexte des Algèbres de Vecteurs de Vertex (VOA). Alors que la cohomologie classique des champs de vecteurs holomorphes sur les surfaces de Riemann est souvent triviale, l'auteur cherche à développer une théorie de la cohomologie pour l'espace des fonctions de $n$ points de Jacobi générées par une VOA. Ces fonctions incluent une variable elliptique pour suivre une « charge » via un élément $J \in V_1$, et satisfont des équations fonctionnelles connues sous le nom de formules de réduction de Zhu. Le problème central consiste à construire un complexe de cochaînes où ces formules de réduction servent d'opérateurs de bord, définissant ainsi une « cohomologie de réduction » qui encode la structure non commutative de la VOA et produit des équations fonctionnelles pour les formes quasi-modulaires.

Méthodologie
L'auteur construit un complexe de cochaînes $(C^\bullet(W), \delta^\bullet)$ où :

1. Espaces de cochaînes ($C^n(W)$) : Définis comme l'espace des fonctions de $n$ points de Jacobi $Z^J_W(x_n; B)$ associées à un module $W$ de $V$, où $x_n$ représente un tuple de vecteurs et des coordonnées locales sur un tore $T$, et $B = (\tau, z)$ représente les paramètres modulaires et elliptiques.
2. Opérateurs de bord ($\delta_n$) : Définis explicitement à l'aide de formules de réduction de type Zhu (spécifiquement celles établies par Bringmann-Krauel-Tuite pour les formes de Jacobi). L'opérateur $\delta_n$ associe une fonction de $n$ points à une fonction de $n+1$ points via une somme impliquant des fonctions de coefficients méromorphes $f_{k,m}$ et l'insertion de modes entre crochets $v_{n+1}[m]_\beta$ dans le $k$-ième emplacement de l'entrée.
3. Condition de chaîne : La condition $\delta_{n+1} \circ \delta_n = 0$ est imposée, ce qui se traduit par un système d'équations différentielles-fonctionnelles (analogues aux équations de Knizhnik-Zamolodchikov) que les fonctions de $n$ points doivent satisfaire.
4. Cas analysés : La forme explicite de l'opérateur de bord est dérivée pour quatre scénarios spécifiques :
   • Le cas général.
   • Le cas le plus simple.
   • Le cas de la Virasoro décalée (impliquant un élément de Virasoro décalé).
   • Le cas de l'algèbre de super-vecteurs de vertex/orbifold.

Contributions clés et résultats
L'article établit deux théorèmes principaux caractérisant les groupes de cohomologie $H^n_J(W)$ :

1. Caractérisation KZ (Théorème 4.1) :
   La cohomologie de réduction $n$-ième $H^n_J(W)$ est isomorphe, en tant que complexe de vecteurs, à l'espace des prolongements analytiques de solutions non nulles d'une équation spécifique :
   $$\sum_{k=0}^n \sum_{m \ge 0} f_{k,m}(x_n; B) T_k(v_{n+1}[m]_\beta) Z^J_W(x_n; B) = 0$$
   Cette équation est identifiée comme un analogue de type Jacobi des équations de Knizhnik-Zamolodchikov (KZ). Les solutions sont exprimables sous forme de séries de fonctions de Weierstrass déformées, générées récursivement par les formules de réduction.

2. Théorème de type Bott-Segal (Lemme 4.6) :
   L'article démontre que les fonctions de $n$ points de Jacobi générées par les formules de réduction agissent comme des connexions de $n$ points sur l'espace des sections déformées par un automorphisme de genre $g$ du fibré de la VOA sur le tore. Par conséquent, la cohomologie de réduction est isomorphe à la cohomologie de l'espace de ces sections déformées :
   $$H^n_J(W) \cong \text{Conn}_n / G_{n-1}$$
   Ce résultat fournit une interprétation géométrique des formules de réduction algébriques, les reliant à la théorie des connexions sur les fibrés, de manière analogue aux résultats de Bott, Segal et Wagemann pour les champs de vecteurs holomorphes.

De plus, l'article note que pour le cas de l'orbifold, la cohomologie contient des fonctions exprimables comme des déterminants de matrices dont les entrées sont des fonctions elliptiques déformées.

Signification et revendications
L'auteur positionne ce travail comme une étape fondamentale vers une description complète des cohomologies d'objets holomorphes issus de structures non commutatives sur des variétés complexes. La signification réside dans :

• Unification : Encoder simultanément la structure non commutative de la VOA, produire des équations fonctionnelles pour les formes quasi-modulaires, et admettre une interprétation géométrique via des connexions sur un fibré de VOA.
• Généralisation : Opérer au niveau des fonctions de $n$ points pour tout $n \ge 0$ simultanément, en incorporant la variable Jacobi (elliptique) supplémentaire, ce qui distingue ce travail des travaux précédents sur les premières et deuxièmes cohomologies d'algèbres de vertex à graduation restreinte (ex. Huang).
• Applicabilité : La théorie est présentée comme extensible aux surfaces de Riemann de genre supérieur et applicable à l'étude des modèles intégrables et de la théorie de la déformation.

L'article stipule explicitement qu'aucun jeu de données n'a été généré ou analysé, et que les résultats sont des dérivations purement théoriques basées sur les axiomes existants des VOA et les formules de réduction.