Motion of a gyroscope on a closed timelike curve

Résumé Technique : Mouvement d'un gyroscope sur une courbe temporelle fermée

Énoncé du Problème
Cet article étudie la cohérence des corps étendus se déplaçant le long de courbes temporelles fermées (CTC - Closed Timelike Curves) dans le cadre de la Relativité Générale. Alors que les approximations de particules ponctuelles lors de voyages dans le temps supposent souvent l'auto-cohérence (conformément au principe d'auto-cohérence de Novikov), les corps étendus possèdent une structure interne qui peut mener à des incohérences. Le problème spécifique abordé est le mouvement d'un gyroscope, modélisé comme un vecteur de spin de longueur un dans l'espace de Pauli, orthogonal au vecteur 4-vitesse de l'observateur, transporté le long d'une CTC. La question centrale est de savoir si le vecteur de spin revient à son orientation initiale après avoir complété un circuit de la CTC. Si le vecteur précesse de telle sorte que $s^a(t_0) \neq s^a(t_1)$ malgré $\gamma(t_0) = \gamma(t_1)$, le mouvement est jugé incohérent, ce qui pourrait exclure de telles histoires pour les corps étendus.

Méthodologie
L'auteur modélise le mouvement du gyroscope en utilisant les équations de transport de Fermi-Walker (FW) le long d'une CTC $\gamma$ de classe $C^2$ par morceaux, de période $T$. Le vecteur de spin $s^a$ satisfait :
$$u^c \nabla_c s^a = (u^a a_b - a^a u_b) s^b$$
où $u^a$ est le vecteur tangent et $a^a$ est l'accélération.

L'analyse repose sur les propriétés du propagateur FW, $\Gamma^a_{b'}$, qui agit comme une matrice fondamentale pour le système d'équations différentielles ordinaires (EDO) régissant le transport. Puisque les coefficients de l'équation de transport sont périodiques (en raison de la périodicité de la CTC), l'auteur applique le théorème de Floquet-Lyapunov.

Les étapes clés de la méthodologie incluent :

1. Analyse de la matrice de monodromie : Définition de la matrice de monodromie $M^a_{b'} = \Gamma^a_{b'}(T)$, qui projette le vecteur de spin initial vers son état après une période.
2. Décomposition en valeurs propres : Analyse des valeurs propres de $M$. Puisque le transport FW préserve les produits scalaires et que le vecteur vitesse $u^a$ est lui-même une solution périodique, $M$ possède une valeur propre égale à 1 correspondant à $u^a$. La restriction de $M$ au sous-espace orthogonal à $u^a$ (l'espace des vecteurs de spin) est un élément de $SO(3)$.
3. Conditions de périodicité : Détermination des conditions sous lesquelles tous les vecteurs de spin sont $T$-périodiques. Cela se produit si et seulement si l'angle de rotation $\theta$ associé aux valeurs propres $\{1, e^{i\theta}, e^{-i\theta}\}$ de l'espace orthogonal est nul (ou un multiple de $2\pi$).
4. Études de cas : Application de ce formalisme à des espaces-temps spécifiques admettant des CTC :
   • Espaces-temps stationnaires à symétrie cylindrique (Gödel, Som-Raychaudhuri, machines de Tipler/Van Stockum).
   • Espace-temps de Kerr (région intérieure).
   • Espace-temps de Taub-NUT.
   • La machine à voyager dans le temps asymptotiquement plate d'Ori.

Contributions Clés et Résultats

• Cadre Théorique Général :

  • Proposition 1 : Toute CTC $T$-périodique admet au moins un vecteur de spin $T$-périodique.
  • Proposition 2 : Pour une CTC donnée, soit chaque vecteur de spin est $T$-périodique, soit l'ensemble des données initiales produisant un vecteur de spin périodique est de mesure nulle (spécifiquement, seulement deux points sur la sphère unité $S^2$). Ainsi, le mouvement gyroscopique est soit universellement cohérent, soit génériquement incohérent.

• Analyse d'Espaces-Temps Spécifiques :

  • Espaces-Temps Stationnaires à Symétrie Cylindrique : La condition de cohérence se réduit à une condition de résonance où la période de la CTC ($T_\gamma$) est un multiple entier de la période de précession du vecteur de spin ($T_s$). Cela conduit à un « profil de Gödel » où le mouvement cohérent ne se produit que pour un ensemble dénombrable de rayons (valeurs discrètes de $r$). Pour tous les autres rayons, seule une orientation spécifique du vecteur de spin reste cohérente.
  • Espace-temps de Kerr : Des conditions de résonance similaires s'appliquent dans le plan équatorial. Le mouvement cohérent est restreint à un ensemble dénombrable de rayons dans la région totalement vicieuse ($r < 0$).
  • Espace-temps de Taub-NUT : Contrairement aux exemples précédents, la condition de cohérence produit un nombre fini (ou nul) de solutions selon le paramètre NUT. Dans de nombreux régimes de paramètres, aucune CTC n'existe où tous les vecteurs de spin sont périodiques.
  • Machine à Voyager dans le Temps d'Ori : Les CTC purement toroïdales de cet espace-temps admettent un mouvement gyroscopique cohérent. Cependant, une perturbation introduisant un mouvement poloidal brise cette cohérence, ramenant le système au cas générique de mouvement incohérent.

Signification et Conclusions
L'article conclut que l'évolution cohérente d'un gyroscope le long d'une CTC est génériquement impossible. Dans un sens mathématique précis, pour les familles de CTC étudiées (paramétrées par des variables réelles continues), le sous-ensemble de CTC permettant un mouvement gyroscopique cohérent est au plus dénombrable (un ensemble de mesure nulle).

L'auteur soutient que si le voyage dans le temps pour une particule ponctuelle peut être auto-cohérent, l'inclusion d'une structure interne (modélisée ici par un gyroscope) introduit des contraintes physiques via les équations de transport FW qui excluent génériquement les histoires cohérentes. La « difficulté pratique » pour un voyageur temporel est que son compas inertiel (le gyroscope) tournerait par rapport à son orientation initiale en revenant au même événement spatio-temporel, créant un paradoxe d'identité pour les corps étendus.

L'article pose la conjecture que cette incohérence générique s'applique à tous les espaces-temps orientables dans le temps. Bien que les exemples fournis soient spécifiques, l'auteur suggère que la nature ouverte et dense de l'ensemble des CTC incohérentes (soutenue par la dépendance continue des solutions d'EDO par rapport aux paramètres) implique que la cohérence est une propriété exceptionnelle, plutôt que générique, dans les espaces-temps admettant des CTC. Cela remet en question la viabilité du voyage dans le temps pour les corps étendus sous la Relativité Générale classique.