Alexandrov-Fenchel inequality for convex hypersurfaces with capillary boundary in a ball

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le domaine de la géométrie différentielle et de la géométrie convexe, plus précisément dans l'étude des inégalités isopérimétriques et des inégalités d'Alexandrov-Fenchel.

• Contexte classique : L'inégalité isopérimétrique classique stipule que, parmi tous les domaines de volume fixe dans l'espace euclidien $\mathbb{R}^{n+1}$, la boule ronde minimise l'aire. Les généralisations d'ordre supérieur pour les hypersurfaces fermées convexes sont les inégalités d'Alexandrov-Fenchel, qui relient les intégrales des courbures moyennes normalisées (quermassintegrals).
• Problème relatif : Lorsque le domaine est contraint à l'intérieur d'une boule unité $B^{n+1}$, on considère le problème isopérimétrique relatif. Si la surface intersecte le bord de la boule ($\partial B^{n+1} = S^n$) orthogonalement (bord libre), les solutions sont des calottes sphériques ou des disques géodésiques. Des résultats récents (Scheuer-Wang-Xia, [42]) ont établi les inégalités d'Alexandrov-Fenchel pour ce cas de bord libre.
• Objectif de l'article : Les auteurs généralisent ces résultats au cas plus général des hypersurfaces avec bord capillaire. Une hypersurface $\Sigma \subset B^{n+1}$ possède un bord capillaire d'angle $\theta$ si elle intersecte le bord de la boule $S^n$ sous un angle constant $\theta \in (0, \pi)$. Ce cas modélise physiquement l'équilibre d'un liquide confiné dans un récipient, où l'énergie fonctionnelle implique un terme de tension de surface et un terme d'énergie de mouillage.

Le défi principal est de définir correctement les quermassintegrals ($W_{k,\theta}$) pour ces hypersurfaces à bord capillaire, de dériver leurs formules variationnelles, et de prouver les inégalités d'Alexandrov-Fenchel correspondantes.

2. Méthodologie

La preuve repose sur une approche dynamique utilisant un écoulement de courbure non linéaire localement contraint.

A. Définition des Quermassintegrals Capillaires

Les auteurs définissent une famille de fonctionnels géométriques $W_{k,\theta}(\hat{\Sigma})$ pour un domaine $\hat{\Sigma}$ délimité par une hypersurface convexe $\Sigma$ à bord capillaire. Ces fonctionnels sont construits pour être les analogues corrects des quermassintegrals classiques, en tenant compte des termes de bord.
Pour $1 \le k \le n-1$ :
$$W_{k+1,\theta}(\hat{\Sigma}) = \frac{1}{n+1} \left( \int_\Sigma H_k dA - \cos\theta \sin^k\theta W_{k}^{S^n}(\hat{\partial\Sigma}) - \sum_{l=0}^{k-1} (\dots) W_{l}^{S^n}(\hat{\partial\Sigma}) \right)$$
où $H_k$ est la courbure moyenne normalisée $k$-ième, et $W_{l}^{S^n}$ sont les quermassintegrals du bord $\partial\Sigma$ vu comme hypersurface dans la sphère $S^n$.

B. Formule Variationnelle Première

Un résultat clé est la dérivation de la formule variationnelle première pour ces fonctionnels sous une déformation normale de vitesse $f$ :
$$\frac{d}{dt} W_{k,\theta}(\hat{\Sigma}_t) = \frac{n+1-k}{n+1} \int_{\Sigma_t} H_k f dA_t$$
et $\frac{d}{dt} W_{n+1,\theta} = 0$. Cette formule justifie la définition des $W_{k,\theta}$ et montre que $W_{n+1,\theta}$ est une quantité conservée sous certaines conditions.

C. Écoulement de Courbure Contraint

Les auteurs introduisent un écoulement spécifique (3.1) :
$$\partial_t x = f \nu + T$$
avec la vitesse normale $f$ choisie de manière contrainte :
$$f = \frac{\langle x + \cos\theta \nu, e \rangle}{F} - \langle X_e, \nu \rangle$$
où :

• $e$ est un vecteur unitaire constant choisi spécifiquement en fonction de la surface initiale (via des estimations de convexité).
• $F = H_n / H_{n-1} = n \sigma_n / \sigma_{n-1}$ est un rapport de polynômes symétriques élémentaires.
• $X_e$ est un champ de vecteurs de Killing conforme.
• $T$ est la composante tangentielle nécessaire pour maintenir la condition aux limites capillaire.

Propriétés de l'écoulement :

1. Préservation : L'écoulement préserve $W_{n,\theta}$.
2. Monotonie : Il est non-décroissant pour $W_{k,\theta}$ avec $1 \le k \le n-1$.
3. Convergence : Sous l'hypothèse de convexité stricte initiale, l'écoulement existe pour tout temps et converge vers une calotte sphérique à bord capillaire.

3. Contributions Techniques Clés

1. Généralisation des Formules de Minkowski : Les auteurs démontrent une nouvelle formule de type Minkowski d'ordre supérieur pour les hypersurfaces à bord capillaire (Proposition 2.8) :
   $$\int_\Sigma H_{k-1} (\langle x, e \rangle + \cos\theta \langle \nu, e \rangle) dA = \int_\Sigma H_k \langle X_e, \nu \rangle dA$$
   Cette identité est cruciale pour montrer la conservation de $W_{n,\theta}$ et la monotonie des autres fonctionnels sous l'écoulement.

2. Estimations de Courbure Uniformes : La partie la plus technique du papier réside dans la preuve de l'existence à long terme et de la convergence. Les auteurs établissent :

   • Des estimations $C^0$ (bornes de hauteur) en utilisant des barrières constituées de calottes sphériques.
   • Des estimations de courbure ($C^2$ et supérieures) en utilisant le principe du maximum sur des quantités auxiliaires (comme $\log F - \alpha \langle x, e \rangle$).
   • La preuve que la convexité stricte est préservée tout au long de l'écoulement.

3. Transformation Conformelle : Pour traiter la condition aux limites oblique, les auteurs utilisent une transformation conforme (type Möbius) pour mapper la boule $B^{n+1}$ vers un demi-espace, transformant l'écoulement en une équation parabolique scalaire sur un graphe radial, permettant l'application de la théorie standard des équations paraboliques.

4. Résultats Principaux

Le résultat central est le Théorème 1.3, qui établit les inégalités d'Alexandrov-Fenchel pour les hypersurfaces convexes à bord capillaire :

Soit $\Sigma \subset B^{n+1}$ une hypersurface convexe avec bord capillaire d'angle $\theta \in (0, \pi/2]$. Alors, pour $0 \le k \le n-1$ :
$$W_{n,\theta}(\hat{\Sigma}) \ge (f_n \circ f_k^{-1})(W_{k,\theta}(\hat{\Sigma}))$$
où $f_k(r) = W_{k,\theta}(\hat{C}_{\theta,r})$ est la fonction strictement croissante associée aux calottes sphériques de rayon $r$.

• Cas d'égalité : L'égalité est atteinte si et seulement si $\Sigma$ est une calotte sphérique ou un disque plat avec bord capillaire.
• Formule de Gauss-Bonnet-Chern : Le papier établit également une formule explicite pour $W_{n+1,\theta}$ (Théorème 1.3, équation 1.8), reliant cette quantité à une fonction bêta incomplète régularisée, généralisant le résultat connu pour le bord libre ($\theta = \pi/2$).

Un cas particulier pour $n=2$ (surfaces dans $B^3$) donne une inégalité de type Minkowski (Corollaire 1.4).

5. Signification et Impact

• Généralisation Majeure : Ce travail étend les résultats fondamentaux de Scheuer-Wang-Xia ([42]) du cas de bord libre ($\theta = \pi/2$) au cas général de bord capillaire ($\theta \in (0, \pi/2]$), couvrant ainsi une classe plus large de problèmes physiques et géométriques.
• Outils Nouveaux : La définition des quermassintegrals pour le cas capillaire et la dérivation de leur formule variationnelle ouvrent la voie à l'étude d'autres inégalités géométriques dans ce contexte.
• Méthodologie Robuste : L'utilisation réussie d'un écoulement de courbure localement contraint avec des conditions aux limites capillaires démontre la puissance de cette méthode pour résoudre des problèmes d'inégalités géométriques dans des domaines bornés avec des conditions aux limites non triviales.
• Applications Physiques : Les résultats ont des implications directes pour la compréhension des formes d'équilibre des gouttes de liquide ou des bulles dans des conteneurs, où l'angle de contact est fixe mais non nécessairement de 90 degrés.

En résumé, cet article fournit une théorie complète et rigoureuse des inégalités d'Alexandrov-Fenchel pour les hypersurfaces convexes à bord capillaire, combinant des techniques avancées de géométrie différentielle, d'analyse non linéaire et de théorie des équations aux dérivées partielles.