On the affine Springer fibers inside the invariant center of the small quantum group

Résumé technique : Fibres de Springer affines à l'intérieur du centre invariant du petit groupe quantique

Énoncé du problème
L'article traite de la réalisation géométrique de la partie invariante sous $G^\vee$ du centre, notée $Z(u^\vee_\zeta)^{G^\vee}$, du petit groupe quantique $u^\vee_\zeta$ associé à une algèbre de Lie semi-simple $\mathfrak{g}^\vee$ et à une racine de l'unité $\zeta$. Plus précisément, les auteurs visent à calculer la dimension d'une sous-algèbre définie géométriquement, $Z(u^\vee_\zeta)^{G^\vee}_{\text{geom}}$, construite via la théorie de Springer affine. De plus, dans le cas où $G = SL_n$, l'article examine un raffinement bigradué de ce résultat, cherchant à relier la géométrie des fibres de Springer affines à la combinatoire des co-invariants diagonaux et à la structure du centre du groupe quantique.

Méthodologie
Les auteurs emploient une synthèse de la théorie de Springer affine, de la théorie des représentations du groupe de Weyl et de la géométrie des fibrations de Hitchin.

1. Décomposition géométrique : L'objet géométrique central est l'intersection $Gr_{\gamma, \zeta} = Gr_\gamma \cap Gr_\zeta$, où $Gr_\gamma$ est une fibre de Springer affine et $Gr_\zeta$ représente les points fixes sous une action de groupe cyclique. En utilisant la décomposition de la grassmannienne affine en variétés de drapeaux affines partielles indexées par le groupe de Weyl affine étendu $\widetilde{W}$, les auteurs expriment $Gr_{\gamma, \zeta}$ comme une union disjointe de « fibres affines de Spaltenstein » ($fl_{\gamma, \ell}^{P_\lambda}$).
2. Décomposition en blocs et théorie des représentations : La cohomologie $H^*(Gr_{\gamma, \zeta})$ se décompose selon les orbites de $\widetilde{W}$ agissant sur le réseau des poids de la représentation fondamentale $\Lambda$. Les auteurs utilisent l'action de Springer et l'action par points (monodromie) sur ces groupes de cohomologie. Ils relient la cohomologie de chaque bloc à la théorie des représentations du groupe de Weyl fini $W$, identifiant spécifiquement les invariants sous l'action par points à des sous-espaces particuliers de l'anneau des co-invariants diagonaux $DR_W$.
3. Outils combinatoires : Les calculs de dimension reposent sur les nombres de Coxeter–Catalan rationnels généralisés et les nombres de Kreweras. Les auteurs utilisent la représentation par permutation de $W$ sur $\Lambda/\ell\Lambda$ pour dénombrer les blocs et appliquent la réciprocité de Frobenius pour calculer les dimensions des sous-espaces invariants.
4. Raffinement de type A : Pour $G=SL_n$, les auteurs exploitent les théorèmes de mélange rationnel et la théorie de l'opérateur nabla $\nabla$ agissant sur les fonctions symétriques. Ils interprètent le bigradué sur la cohomologie via l'homologie équivariante de Borel–Moore de la « partie positive » de la fibre de Springer affine, la reliant à l'anneau des co-invariants diagonaux $DR_n$.
5. Lien avec la fibration de Hitchin : Pour fournir une perspective géométrique alternative sur le bigradué, les auteurs étudient la fibration de Hitchin parabolique. Ils construisent une dégénérescence de courbes spectrales pour relier la cohomologie des fibres de Springer affines à la filtration perverse sur les fibres de Hitchin, conjecturant que cette filtration correspond au bigradué sur les co-invariants diagonaux.

Contributions et résultats clés

• Formule de dimension (Théorème 1.1) : Les auteurs dérivent une formule de dimension précise pour la sous-algèbre géométrique $Z(u^\vee_\zeta)^{G^\vee}_{\text{geom}}$. Ils prouvent que :
  $$\dim Z(u^\vee_\zeta)^{G^\vee}_{\text{geom}} = \text{Cat}_W((h+1)\ell - h, h)$$
  où $\text{Cat}_W$ est le nombre de Coxeter–Catalan rationnel généralisé, $h$ est le nombre de Coxeter, et $\ell$ est l'ordre de la racine de l'unité. Ce résultat est obtenu via la décomposition en blocs et des arguments combinatoires impliquant le nombre d'orbites de $W$ dans des quotients de réseaux spécifiques.

• Lien avec les nombres de Catalan rationnels (Corollaire 1.4) : Dans le cas $G=SL_n$, la formule de dimension se simplifie en le nombre de Catalan $((n+1)\ell - n, n)$-rationnel, confirmant une conjecture d'Igor Frenkel pour la partie invariante sous $G^\vee$ du centre (sous l'hypothèse que l'embedding géométrique est un isomorphisme).

• Bigraduation et co-invariants diagonaux (Théorème 3.8) : En supposant une conjecture de [13] concernant les groupes de Tori dans l'action du réseau, les auteurs établissent que le caractère de Frobenius bigradué des invariants du réseau de la cohomologie de la fibre de Springer affine coïncide avec le twist par le signe de l'anneau des co-invariants diagonaux $DR_n$. Plus précisément, $\text{Frob}_{q,t}(H^*(Fl_\gamma^I)^\Lambda) = \omega_X \nabla e_n$.

• Analyse du bloc sous-régulier (Corollaire 3.4) : Pour les poids sous-réguliers de type A, les auteurs calculent explicitement les dimensions bigraduées des blocs du centre et montrent qu'elles correspondent aux dimensions bigraduées de la cohomologie des faisceaux cohérents sur la résolution de Springer, résolvant une conjecture spécifique de [31].

• Interprétation géométrique des sous-algèbres (Section 4) : L'article identifie le centre de Harish-Chandra, l'idéal de Higman et le quotient de Verlinde dans le modèle géométrique. Il démontre que le centre de Harish-Chandra correspond à la cohomologie des variétés de drapeaux partielles, l'idéal de Higman aux socles de ces blocs, et le quotient de Verlinde aux têtes des blocs réguliers.

• Filtration perverse et éléments de Lefschetz (Section 5) : Les auteurs proposent un lien entre le bigradué sur le centre et la filtration perverse sur la cohomologie des fibres de Hitchin paraboliques. Ils identifient l'élément de Lefschetz (induit par le fibré en droites déterminant) avec le « déterminant de Haiman » dans l'anneau des co-invariants diagonaux et conjecturent que l'action $sl_2$ résultante coïncide avec l'action par produit extérieur du champ bivecteur de Poisson sur la résolution de Springer (Conjecture 5.8).

Portée et affirmations
L'article prétend fournir une formule de dimension complète pour la sous-algèbre géométrique du centre du petit groupe quantique, dérivée indépendamment des comparaisons avec les fibres de Springer affines elliptiques utilisées dans [10], en s'appuyant plutôt sur la décomposition en blocs et la combinatoire de Coxeter–Catalan.

Les auteurs soulignent que leur travail clarifie la structure du centre dans le cas $G=SL_n$ en introduisant un bigradué qui s'aligne avec l'anneau des co-invariants diagonaux. Ils affirment que leurs résultats confirment la Conjecture 1.3 (selon laquelle l'embedding géométrique est un isomorphisme) dans des cas de rang faible spécifiques (types $A_1$ à $A_4$, $B_2$, $G_2$) en faisant correspondre les dimensions aux calculs connus de cohomologie de Hochschild.

L'article présente modestement ses conclusions sur le bigradué et l'action $sl_2$ comme conjecturales, reposant sur la validité de la conjecture « Hilb-vs-Quot » [28] et de la conjecture principale de [13]. Les auteurs déclarent que leur construction géométrique de dégénérescences de courbes spectrales offre une voie potentielle pour prouver l'équivalence des deux bigradués proposés (combinatoire vs filtration perverse), mais cela reste un sujet pour une vérification future. L'œuvre sert à unifier les perspectives des fibres de Springer affines, des faisceaux cohérents sur la résolution de Springer et des co-invariants diagonaux dans le contexte du petit groupe quantique.