Regulators in the Arithmetic of Function Fields

Énoncé du Problème

Cet article traite du développement d'une théorie du régulateur pour les $A$-motifs d'Anderson sur les corps de fonctions, visant à établir des analogues des conjectures de Beilinson connues dans l'arithmétique des corps de nombres. Plus précisément, l'auteur cherche à définir un morphisme de régulateur pour les $A$-motifs d'Anderson analytiquement triviaux au sens rigide et à étudier les propriétés de finitude et de rang des groupes de cohomologie motivique associés.

Dans le cadre classique sur les corps de nombres, les conjectures de Beilinson relient la dimension des groupes d'extensions de motifs mixtes (spécifiquement $\text{Ext}^1_{\mathbb{Z}}(1, M)$) aux valeurs spéciales de fonctions $L$ via une application de régulateur vers des espaces de réalisation de Hodge. Dans le cadre des corps de fonctions, les travaux précédents de l'auteur ([Gaz22]) ont initié l'étude de la cohomologie $A$-motivique mais ont rencontré des obstacles : le module naturel d'extensions, $\text{Ext}^1_{A}(1, M)$, n'est généralement pas de type fini. Cet échec provient de deux sources : la non-exactitude de la prise de filtrations de Hodge et la nature infinie du groupe de Galois absolu $G_\infty$ au lieu à l'infini. L'article vise à résoudre ces problèmes en définissant un module d'extensions raffiné avec « réduction analytique » et en construisant un régulateur correspondant vers des structures de Hodge-Pink.

Méthodologie

L'auteur emploie une synthèse de géométrie analytique rigide, de cohomologie galoisienne et de la théorie des modèles de shtukas. La méthodologie procède à travers plusieurs étapes clés :

1. $A$-motifs analytiquement triviaux au sens rigide et réalisation de Betti : L'étude est restreinte à la sous-catégorie des $A$-motifs analytiquement triviaux au sens rigide ($\text{AMot}^{\text{rat}}_K$). Pour de tels motifs, le foncteur de réalisation de Betti $M \mapsto M_B$ est exact. L'auteur établit que $M_B$ porte une action continue naturelle du groupe galoisien profinite $G_\infty = \text{Gal}(K_\infty^s | K_\infty)$.
2. Réduction analytique et extensions régulées : Pour remédier au manque de type fini, l'auteur définit une « réduction analytique à $\infty$ » pour les extensions. Une extension possède une réduction analytique si elle se scinde en tant que représentation de $G_\infty$. Cela conduit à la définition du module \text{Ext}^1_{A, \infty}^{\text{reg}}(1, M), le noyau de l'application des extensions régulées vers la cohomologie galoisienne $H^1(G_\infty, M_B)$.
3. Structures de Hodge-Pink avec Frobeniens infinis : L'article étend la théorie des structures de Hodge-Pink de Pink en introduisant des « Frobeniens infinis », qui sont des représentations continues de $G_\infty$ compatibles avec le réseau de Hodge-Pink. Cela permet la construction d'un foncteur de réalisation de Hodge-Pink $H^+$ de $\text{AMot}^{\text{rat}}_K$ vers la catégorie des structures de Hodge-Pink avec Frobeniens infinis ($\text{HdgPk}^+$).
4. Modèles de shtukas : Un outil technique central est l'association des $A$-motifs à des modèles de shtukas.
   • Modèles de $C$-shtukas : Associés à tout $A$-motif sur la surface $(\text{Spec } A) \times C$.
   • Modèles de $C \times C$-shtukas : Associés aux $A$-motifs de poids négatifs sur $C \times C$.
     L'auteur prouve que le complexe calculant la cohomologie motivique ($G_M$) est quasi-isomorphe à la cohomologie cohérente de ces modèles de shtukas. Cette connexion permet d'utiliser le théorème de Grothendieck sur les fonctions formelles et la finitude de la cohomologie cohérente sur les schémas propres pour déduire des résultats de finitude.
5. Construction du régulateur : L'exactitude du foncteur de réalisation de Hodge-Pink induit un morphisme (le régulateur) de l'espace des extensions régulées et analytiquement réduites d' $A$-motifs vers l'espace des extensions de structures de Hodge-Pink qui sont de Hodge-additives et analytiquement réduites.

Contributions principales et Résultats

L'article établit deux théorèmes principaux concernant la structure de la cohomologie $A$-motivique et les propriétés du régulateur :

1. Théorème de finitude (Théorème 6.1) :

   • Les $A$-modules \text{Ext}^1_{A, \infty}^{\text{reg}}(1, M) (extensions intégrales, régulées avec réduction analytique) et le module de classe $\text{Cl}(M)$ (le cokernel de l'application de réduction analytique) sont de type fini.
   • Si les poids de $M$ sont tous négatifs, le module de classe $\text{Cl}(M)$ est fini.
   • Ce résultat sert d'analogue dans le cas des corps de fonctions à l'attente selon laquelle $\text{Ext}^1_{\mathbb{Z}}(1, M)$ est de dimension finie dans le cadre des corps de nombres.

2. Théorème d'égalité de rang (Théorème 6.2) :

   • En supposant que les poids de $M$ sont tous négatifs, le rang de \text{Ext}^1_{A, \infty}^{\text{reg}}(1, M) en tant que $A$-module est égal à la dimension de l'espace cible \text{Ext}^1_{\infty}^{\text{ha}}(1^+, H^+(M)) en tant qu'espace vectoriel de $K_\infty$.
   • Cette dimension est explicitement calculable en termes des poids de Hodge-Pink positifs de $M$.

3. Échec du rang complet :

   • Contrairement au tableau conjectural sur les corps de nombres (où l'on s'attend à ce que le régulateur ait un rang dense/complet), l'auteur démontre que l'image du régulateur de Hodge-Pink $\text{Reg}(M)$ peut ne pas avoir un rang complet dans son espace cible.
   • Cet échec est observé même dans des cas simples, tels que le $p$-ième torsion de Carlitz. Par conséquent, un analogue direct de la conjecture de Beilinson concernant la densité de l'image ne tient pas dans ce cadre.

Signification et Revendications

L'article affirme fournir un cadre rigoureux pour la cohomologie motivique dans le cadre des corps de fonctions en surmontant les problèmes de génération infinie présents dans les formulations antérieures. En introduisant le concept de réduction analytique et en utilisant les modèles de shtukas, l'auteur prouve avec succès des résultats de finitude qui reflètent les attentes classiques.

Cependant, l'article note modestement une divergence significative par rapport à l'analogie des corps de nombres : le régulateur n'a pas nécessairement un rang complet. L'auteur suggère que cette divergence implique que les structures de Hodge-Pink standards pourraient ne pas être les objets corrects pour formuler une conjecture complète de type Beilinson dans les corps de fonctions. Au lieu de cela, l'auteur propose que les « structures de Hodge de corps de fonctions » (sans les données de réseau) pourraient devoir être réhabilitées pour définir un régulateur à rang complet. L'article conclut que bien que l'égalité de rang (Théorème 6.2) soit vérifiée, la formulation précise de l'analogue de la conjecture de Beilinson (reliant l'image du régulateur aux valeurs spéciales de $L$) reste un problème ouvert nécessitant des recherches supplémentaires. Le travail est présenté comme une suite naturelle à [Gaz22], jetant un pont entre les $A$-motifs d'Anderson et le paysage conjectural des motifs mixtes.