Homological full-and-faithfulness of comodule inclusion and contramodule forgetful functors

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le domaine de l'algèbre homologique et de la théorie des coalgèbres sur un corps $k$. Il aborde la relation entre les catégories de modules sur une algèbre $A$ et les catégories de comodules (et de contramodules) sur sa coalgèbre duale $C$ (où $A = C^*$).

Le problème central est de déterminer sous quelles conditions les foncteurs naturels suivants induisent des équivalences ou des plongements pleins et fidèles au niveau des catégories dérivées :

1. Le foncteur d'inclusion des comodules : $\Upsilon: C\text{--Comod} \to C^*\text{--Mod}$. Il est bien connu que ce foncteur est exact et pleinement fidèle au niveau des catégories abéliennes, mais son image essentielle n'est pas toujours fermée par extensions.
2. Le foncteur d'oubli des contramodules : $\Theta: C\text{--Contra} \to C^*\text{--Mod}$. Ce foncteur n'est généralement pas pleinement fidèle.

La question fondamentale est : Quand ces foncteurs induisent-ils des foncteurs triangulés pleinement fidèles entre les catégories dérivées bornées (inférieurement pour les comodules, supérieurement pour les contramodules) ?

L'auteur se concentre sur le cas des coalgèbres conilpotentes, une classe importante incluant les coalgèbres pointées irréductibles.

2. Méthodologie

La méthodologie de Positselski repose sur une analyse fine des espaces d'extensions ($\text{Ext}$) et sur l'utilisation de résolutions minimales spécifiques aux coalgèras conilpotentes.

• Résolutions Minimales : L'auteur utilise des résolutions injectives minimales pour les comodules et des résolutions projectives minimales pour les contramodules. Ces résolutions sont construites de manière itérative en utilisant le socle (pour les comodules) et le cosocle (pour les contramodules), exploitant la filtration naturelle induite par la conilpotence.
• Comparaison des Espaces Ext : L'approche consiste à comparer les espaces $\text{Ext}^i_C(L, M)$ (calculés dans la catégorie des comodules/contramodules) avec les espaces $\text{Ext}^i_{C^*}(L, M)$ (calculés dans la catégorie des modules sur l'algèbre duale).
• Condition de Dimension Finie : Le cœur de la preuve repose sur l'analyse de la dimension des espaces $\text{Ext}^i_C(k, k)$, où $k$ est le corps de base muni de la structure de comodule/contramodule trivial via la co-augmentation.
• Dualité et Symétrie : L'article exploite la dualité entre les catégories de comodules à gauche et à droite, ainsi que la relation entre les comodules et les contramodules via la dualité vectorielle, pour établir des équivalences entre des conditions apparemment distinctes.
• Outils Catégoriques : L'auteur utilise des lemmes techniques sur les foncteurs adjoints (le foncteur d'inclusion $\Upsilon$ admet un adjoint à droite $\Gamma$, et le foncteur d'oubli $\Theta$ admet un adjoint à gauche $\Delta$) pour relier la pleine fidélité des foncteurs dérivés à la nullité de certains groupes d'extensions.

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

Le résultat central de l'article est un théorème d'équivalence (Théorème 1.1 et 1.2) qui lie la pleine fidélité homologique à une propriété de finitude cohomologique.

A. Définition : Coalgèbres « Faiblement Finies de Koszul »

L'auteur introduit la notion de coalgèbre faiblement finie de Koszul (weakly finitely Koszul). Une coalgèbre conilpotente $C$ est dite faiblement finie de Koszul si les espaces vectoriels $\text{Ext}^n_C(k, k)$ sont de dimension finie pour tout $n \ge 0$.

B. Théorème d'Équivalence (Théorème 1.1)

Pour une coalgèbre conilpotente $C$ et un entier $n \ge 1$, les cinq conditions suivantes sont équivalentes :

1. Le foncteur d'inclusion $\Upsilon$ induit un isomorphisme $\text{Ext}^i_C(L, M) \xrightarrow{\sim} \text{Ext}^i_{C^*}(L, M)$ pour tous les comodules $L, M$ et $1 \le i \le n$.
2. La condition analogue vaut pour les comodules à droite.
3. Le foncteur d'oubli $\Theta$ induit un isomorphisme $\text{Ext}^i_C(P, Q) \xrightarrow{\sim} \text{Ext}^i_{C^*}(P, Q)$ pour tous les contramodules $P$ et les contramodules séparés $Q$ (et pour $0 \le i \le n-1$).
4. Les espaces $\text{Ext}^i_C(k, k)$ sont de dimension finie pour tout $1 \le i \le n$.
5. La condition analogue vaut pour les contramodules.

Conséquence majeure : Si l'une de ces conditions est satisfaite, le foncteur d'oubli $\Theta$ induit un isomorphisme pour tous les contramodules (même non séparés) jusqu'au degré $n-2$.

C. Théorème sur les Catégories Dérivées (Théorème 1.2)

L'article établit que les conditions ci-dessus sont équivalentes à la pleine fidélité des foncteurs triangulés induits sur les catégories dérivées :

• $\Upsilon^b : D^b(C\text{--Comod}) \to D^b(C^*\text{--Mod})$ est pleinement fidèle.
• $\Upsilon^+ : D^+(C\text{--Comod}) \to D^+(C^*\text{--Mod})$ est pleinement fidèle.
• $\Theta^b : D^b(C\text{--Contra}) \to D^b(C^*\text{--Mod})$ est pleinement fidèle.
• $\Theta^- : D^-(C\text{--Contra}) \to D^-(C^*\text{--Mod})$ est pleinement fidèle.

D. Comportement Asymétrique et Contre-exemples

L'auteur démontre une subtilité importante :

• Si $\text{Ext}^n_C(k, k)$ est de dimension infinie, l'application $\text{Ext}^n_C(k, k) \to \text{Ext}^n_{C^*}(k, k)$ est injective mais non surjective (son image est isomorphe à l'espace lui-même, tandis que le codomaine est isomorphe à son bidual, donc beaucoup plus grand).
• À l'inverse, pour les contramodules, l'application $\text{Ext}^n_C(T, k) \to \text{Ext}^n_{C^*}(T, k)$ (où $T$ est un espace vectoriel infini muni de la structure triviale) est surjective mais non injective. Cela implique l'existence de contramodules projectifs $P$ pour lesquels l'application en degré $n-1$ est injective mais non surjective.

E. Cas Particuliers Importants

• Coalgèbres Cocommutatives : L'article prouve que toute coalgèbre conilpotente cocommutative et finiment cogenerated est faiblement finie de Koszul. Dans ce cas, $C^*$ est un anneau local noethérien complet.
• Catégories Dérivées Non Bornées : Pour les coalgèbres cocommutatives finiment cogenerated, l'auteur étend le résultat aux catégories dérivées non bornées $D(C\text{--Comod}) \to D(C^*\text{--Mod})$ et $D(C\text{--Contra}) \to D(C^*\text{--Mod})$, en utilisant des résultats récents sur les modules de torsion et les contramodules sur les anneaux noethériens complets (références à [25]).

4. Signification et Impact

Ce travail apporte une clarification fondamentale sur la structure homologique des coalgèbres conilpotentes :

1. Unification des Concepts : Il relie de manière rigoureuse la propriété de « finitude » des espaces d'extensions (une condition purement cohomologique) à la propriété de pleine fidélité des foncteurs entre catégories dérivées (une propriété catégorique profonde).
2. Clarification du Rôle des Contramodules : L'article met en lumière le comportement dual mais distinct des contramodules par rapport aux comodules, notamment concernant la séparation et la complétude, et comment cela affecte la fidélité des foncteurs d'oubli.
3. Généralisation de la Théorie de Koszul : La notion de « faiblement finie de Koszul » généralise la théorie classique des algèbres de Koszul (où les coalgèbres duales sont des coalgèbres de Koszul) à un cadre plus large, incluant des coalgèbres non graduées.
4. Outils pour la Recherche Future : Les lemmes techniques (Appendice) et les résultats sur les catégories dérivées non bornées pour les coalgèbres cocommutatives fournissent des outils puissants pour l'étude des catégories de modules sur des anneaux locaux complets et leurs dualités.

En résumé, Positselski démontre que la « bonne » comportement homologique d'une coalgèbre conilpotente (permettant de traiter ses comodules et contramodules comme des modules sur son algèbre duale sans perte d'information cohomologique) est exactement caractérisée par la finitude dimensionnelle de ses groupes d'extensions auto-duals.