On $p-$Rationality of Cubic and Quartic Number Fields

1. Problématique et Contexte

L'article s'attaque à la question de la p-rationalité des corps de nombres, un concept central en théorie algébrique des nombres et en théorie d'Iwasawa. Un corps de nombres $F$ est dit p-rationnel si son groupe de Galois $G_{Sp}(F)$ (le groupe de Galois de la pro-p-extension maximale non ramifiée en dehors des places au-dessus de $p$) est un groupe pro-p libre.

Cette propriété est équivalente à la satisfaction de deux conditions :

1. La conjecture de Leopoldt est vraie pour $(F, p)$.
2. Le module de torsion $\mathbb{Z}_p$ du groupe de Galois abélianisé est trivial ($T_F = \{1\}$), ce qui implique que la pro-p-extension abélienne maximale non ramifiée en dehors de $p$ est la composite de toutes les $\mathbb{Z}_p$-extensions de $F$.

Bien que la p-rationalité soit bien comprise pour les corps quadratiques, elle reste un défi pour les corps de degré supérieur. Les auteurs visent à combler ce vide en étudiant spécifiquement les corps cubiques complexes et les corps quartiques purement imaginaires, des cas où $F$ n'est ni totalement réel ni quadratique. L'objectif est de fournir des critères explicites pour vérifier cette propriété et d'explorer ses liens avec la Conjecture Généralisée abc et la Conjecture Généralisée de Greenberg (GGC).

2. Méthodologie

Les auteurs développent une approche combinant l'analyse des unités fondamentales, les suites de récurrence linéaire et la théorie des corps de classes.

• Critère de p-rationalité (Proposition 2.2) : Pour un corps cubique complexe ou quartique imaginaire pur $K$, la p-rationalité est équivalente à deux conditions :

  1. Le corps de classes de Hilbert $p$-primaire $H_p(K)$ est contenu dans la composite de toutes les $\mathbb{Z}_p$-extensions de $K$.
  2. Il existe un idéal premier $\mathfrak{p}$ de $K$ au-dessus de $p$ tel que, pour toute unité fondamentale $\varepsilon$ de $K$, la congruence $\varepsilon^{p^f - 1} \not\equiv 1 \pmod{\mathfrak{p}^{e+1}}$ soit satisfaite (où $e$ et $f$ sont l'indice de ramification et le degré résiduel de $\mathfrak{p}$).

• Suites de récurrence d'ordre 3 (Théorème 1.3) : Pour les corps cubiques, les auteurs lient la condition de non-congruence des unités à la divisibilité par $p^2$ de termes d'une suite de récurrence linéaire d'ordre 3. Si $f(x) = x^3 - a_2x^2 - a_1x - a_0$ est le polynôme minimal de l'unité fondamentale $\varepsilon$, ils définissent la suite $F_n$ par :
  $$F_{n+3} = a_2F_{n+2} + a_1F_{n+1} + a_0F_n$$
  avec $F_0=F_1=0, F_2=1$. La non-divisibilité de certains termes spécifiques ($F_{p-1}, F_{p^2-1}, F_{p^3-1}$) par $p^2$ permet de déduire la condition sur l'unité fondamentale.

• Hypothèse de la Conjecture abc Généralisée (Théorème 1.4) : En supposant la validité de la conjecture abc généralisée pour le corps $K$, les auteurs utilisent des propriétés analytiques des polynômes cyclotomiques évalués sur les unités pour démontrer l'existence d'une infinité de nombres premiers $p$ pour lesquels $K$ est p-rationnel.

3. Résultats Principaux

A. Critère Effectif pour les Corps Cubiques (Théorème 1.3)

Les auteurs établissent un critère calculable pour la p-rationalité des corps cubiques complexes $K = \mathbb{Q}(\varepsilon)$. Selon la décomposition de $p$ dans $K$ :

• Si $p$ se décompose totalement, la condition $F_{p-1} \not\equiv 0 \pmod{p^2}$ implique la p-rationalité (sous réserve que $p \nmid h(K)$).
• Si $p$ se décompose en un idéal de degré 1 et un de degré 2, la condition $F_{p^2-1} \not\equiv 0 \pmod{p^2}$ suffit.
• Si $p$ est inerte, la condition $F_{p^3-1} \not\equiv 0 \pmod{p^2}$ suffit.
  Ces résultats permettent de vérifier la p-rationalité sans calculer directement les groupes de Galois, en se basant uniquement sur les coefficients du polynôme minimal de l'unité.

B. Densité des Nombres Premiers p-Rationnels (Théorème 1.4)

Sous l'hypothèse de la conjecture abc généralisée, les auteurs prouvent qu'il existe une constante $c > 0$ telle que le nombre de premiers $p \le x$ pour lesquels un corps $K$ (cubique complexe ou quartique imaginaire) est p-rationnel croît au moins comme $c \log x$. Cela confirme que la p-rationalité est une propriété fréquente pour ces corps.

C. Lien avec la Conjecture Généralisée de Greenberg (GGC)

L'article établit un lien crucial entre la p-rationalité et la GGC (qui postule que le module d'Iwasawa $X(\tilde{F})$ est pseudo-nul).

• Lemme 5.4 : Si $K$ est un corps CM et $K^+$ son sous-corps réel maximal, si $K^+$ est p-rationnel, alors la GGC est vraie pour $(K, p)$.
• Exemple 5.6 : Les auteurs construisent une famille infinie de corps sextiques (composites de corps cubiques et quadratiques imaginaires) pour lesquels la GGC est vraie pour une infinité de nombres premiers $p$.

D. Exemples Numériques et Tables

Les auteurs fournissent des exemples explicites, notamment pour les corps de la forme $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p^3-1})$ et $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{1+\sqrt{-2}})$. Ils présentent deux tables (Tableaux 1 et 2) analysant 419 corps cubiques complexes et 147 corps quartiques imaginaires purs (discriminants $< 3000$) pour les premiers $5 \le p \le 100$.

• La majorité des paires $(K, p)$ vérifient les critères de p-rationalité.
• Les exceptions listées correspondent à des cas où $p$ divise le nombre de classes $h(K)$ ou où la condition sur l'unité n'est pas satisfaite, nécessitant une analyse plus fine du corps de classes de Hilbert.

4. Contributions Clés

1. Nouveau Critère Calculable : Introduction d'un critère basé sur les suites de récurrence pour tester la p-rationalité des corps cubiques complexes, évitant le calcul direct des groupes de Galois pro-p.
2. Extension aux Corps Non-Totalement Réels : Élargissement de la théorie de la p-rationalité au-delà des corps quadratiques et totalement réels, domaine où peu de résultats explicites existaient.
3. Preuve de Densité Conditionnelle : Démonstration que, sous la conjecture abc, les corps cubiques et quartiques imaginaires sont p-rationnels pour une infinité de nombres premiers.
4. Validation de la GGC : Fourniture de nouvelles familles explicites de corps de nombres satisfaisant la Conjecture Généralisée de Greenberg, répondant partiellement à une question ouverte sur la relation entre p-rationalité et GGC.

5. Signification et Impact

Ce travail est significatif car il fournit des outils pratiques pour l'étude des extensions pro-p, un sujet fondamental en théorie d'Iwasawa. En reliant la p-rationalité à des suites de récurrence arithmétiques, les auteurs rendent la vérification de cette propriété accessible via des calculs informatiques standard (comme le montrent les tables).

De plus, la connexion établie entre la p-rationalité et la GGC renforce la compréhension de la structure des groupes de Galois des extensions infinies. Les résultats suggèrent que la p-rationalité est une propriété "générique" pour les corps de nombres, même de degré supérieur, et offrent une voie prometteuse pour construire des exemples de corps satisfaisant des conjectures profondes en théorie des nombres. Les tables fournies servent également de base de données de référence pour les chercheurs travaillant sur les corps cubiques et quartiques.