Another look at elliptic homogenization

Résumé Technique de « Another Look at Elliptic Homogenization »

Énoncé du Problème
L'article étudie le comportement asymptotique d'une suite de fonctionnelles non locales définies par des semi-normes de Gagliardo $(s, 2)$ normalisées avec des coefficients oscillants, lorsque le paramètre fractionnaire $s$ tend vers 1 et que l'échelle d'oscillation $\varepsilon$ tend vers 0. Plus précisément, les auteurs analysent la fonctionnelle :
$$F_{\varepsilon, s}(u) = (1 - s) \iint_{\Omega \times \Omega} a\left(\frac{x}{\varepsilon}\right) \frac{|u(x) - u(y)|^2}{|x - y|^{d+2s}} \, dx \, dy$$
où $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ est un ensemble ouvert borné, et $a$ est une fonction continue 1-périodique bornée au-dessus de zéro et en dessous de l'infini, et $s = s_\varepsilon \in (0, 1)$.

La question centrale est de déterminer la limite $\Gamma$ de $F_{\varepsilon, s}$ lorsque $\varepsilon \to 0$ et $s \to 1^-$ simultanément. Bien qu'il soit connu que, pour un coefficient constant, la limite quand $s \to 1$ produit l'intégrale de Dirichlet (Bourgain, Brezis, Mironescu ; Ponce), et que, pour un $s=1$ fixé, la limite quand $\varepsilon \to 0$ produit l'intégrale de Dirichlet homogénéisée, l'interaction entre ces deux limites est non triviale. L'article se concentre sur le régime « sous-critique » où la convergence de $s$ vers 1 est suffisamment rapide par rapport à l'échelle d'oscillation $\varepsilon$.

Méthodologie
Les auteurs utilisent la théorie de la $\Gamma$-convergence par rapport à la convergence $L^2(\Omega)$. La preuve est divisée en l'établissement des inégalités $\Gamma$-liminf et $\Gamma$-limsup sous l'hypothèse suivante :
$$\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1 - s_\varepsilon}{\varepsilon^2} = 0.$$

1. Localisation et Discrétisation (Liminf) :

   • Lemme 3 (Localisation) : Les auteurs montrent d'abord que les interactions entre des points $x, y$ tels que $|x-y| > r_\varepsilon$ sont négligeables si $r_\varepsilon$ est choisi de telle sorte que $(1-s_\varepsilon)/r_\varepsilon^2 \to 0$. Cela permet de réduire l'intégrale non locale à une portée d'interaction locale.
   • Décomposition Géométrique : Pour traiter le terme non local dans le petit rayon d'interaction, les auteurs utilisent un argument de discrétisation basé sur la décomposition de Kuhn de cubes en simplexes. Ils introduisent une paramétrisation sur l'ensemble des bases orthonormées $V$ dans $\mathbb{R}^d$, en empruntant des techniques à Solci.
   • Fonctions Auxiliaires : Ils construisent des fonctions auxiliaires de classe affine par morceaux $u^\rho_\varepsilon$ sur des réseaux définis par ces bases. En moyennant ces fonctions sur l'ensemble des bases et le rayon d'interaction, ils récupèrent une fonction dans $W^{1,2}(\Omega)$.
   • Homogénéisation : La borne inférieure est dérivée en montrant que l'énergie de ces fonctions auxiliaires converge vers l'intégrale de Dirichlet homogénéisée, en exploitant les résultats connus de l'homogénéisation pour les énergies elliptiques locales.

2. Suite de Récupération (Limsup) :

   • Cas Affine et Affine par Morceaux : Pour les fonctions affines $u(x) = \langle z, x \rangle$, les auteurs construisent une suite de récupération de la forme $u_\varepsilon(x) = \langle z, x \rangle + \varepsilon \phi(x/\varepsilon)$, où $\phi$ est un correcteur périodique résolvant le problème de cellule pour la matrice homogénéisée $A_{\text{hom}}$.
   • Développement de Taylor : La preuve repose sur un développement de Taylor au premier ordre du correcteur $\phi$. La condition $1-s \ll \varepsilon^2$ est cruciale ici pour garantir que les termes de reste dans l'expansion, qui croissent avec $1/\varepsilon^2$, s'annulent lorsqu'ils sont multipliés par le facteur $(1-s)$.
   • Densité : Le résultat est étendu à des fonctions générales de $W^{1,2}(\Omega)$ via un argument de densité utilisant des fonctions affines par morceaux et un argument diagonal.

Résultats Clés
Le théorème principal (Théorème 1) stipule que si $\lim_{\varepsilon \to 0} (1 - s_\varepsilon)/\varepsilon^2 = 0$, alors la suite de fonctionnelles $\Gamma$-converge vers l'intégrale de Dirichlet homogénéisée :
$$\Gamma\text{-}\lim_{\varepsilon \to 0} F_{\varepsilon, s_\varepsilon}(u) = \frac{\sigma_{d-1}}{2d} \int_\Omega \langle A_{\text{hom}} \nabla u, \nabla u \rangle \, dx$$
où $\sigma_{d-1}$ est la mesure de surface de la sphère unité, et où $A_{\text{hom}}$ est la matrice homogénéisée définie par la formule standard d'homogénéisation périodique.

L'article établit que dans ce régime sous-critique, les effets du paramètre fractionnaire $s$ et de l'échelle d'oscillation $\varepsilon$ se « séparent ». La limite est équivalente à prendre $s \to 1$ d'abord (récupérant l'énergie oscillante locale) puis $\varepsilon \to 0$ (homogénéisant cette énergie).

Signification et Portée
L'article fournit une justification rigoureuse à l'intuition formelle selon laquelle séparer les limites $s \to 1$ et $\varepsilon \to 0$ est valide lorsque le paramètre fractionnaire approche 1 suffisamment rapidement. Les auteurs notent explicitement que la condition $1-s \ll \varepsilon^2$ est un cas sous-critique. Ils précisent que le cas critique ($1-s \sim \varepsilon^2$) et les cas super-critiques nécessitent des techniques différentes et plus complexes impliquant des procédures d'homogénéisation non locale-vers-locale et ne sont pas traités dans ce travail.

La contribution réside dans le fait de combler le fossé entre les approximations de Sobolev fractionnaires non locales et l'homogénéisation elliptique classique, en démontant que sous des relations d'échelle spécifiques, la nature non locale de la semi-norme de Gagliardo ne modifie pas la limite homogénéisée par rapport au cas local standard. Le travail offre également une technique de preuve novatrice pour la borne inférieure en utilisant la décomposition de Kuhn et l'intégration sur des bases orthogonales, ce que les auteurs notent comme fournissant une preuve alternative pour le résultat classique de Bourgain, Brezis et Mironescu dans le cas des coefficients constants.