Résumé technique : Les modèles de régression à discontinuité de type « donut »

1. Énoncé du problème

Les modèles de régression à discontinuité (RD) constituent un cadre standard pour identifier les effets causaux à partir de données observationnelles. Cependant, les chercheurs empiriques sont fréquemment confrontés à des préoccupations concernant la validité de la variable de forçage près du seuil, telles que le tri (sorting), la manipulation, l'erreur de mesure ou l'accumulation de données (par exemple, l'arrondi aux valeurs focales). Pour répondre à ces problèmes, les chercheurs utilisent souvent des modèles RD de type « donut », qui excluent les observations au sein d'un voisinage (le « trou du donut ») autour du seuil de traitement.

Malgré leur utilisation répandue, la mise en œuvre des modèles RD de type donut est restée largement heuristique. Il existe peu de directives formelles sur la manière dont l'exclusion d'observations affecte le biais, la variance et l'inférence statistique de l'estimateur. Plus précisément, il reste incertain :

• Comment l'exclusion de données près du seuil modifie l'arbitrage entre biais et variance.
• Si les erreurs types et les intervalles de confiance rapportés par les logiciels conventionnels restent valides.
• Comment tester formellement si la différence entre un estimateur RD conventionnel et un estimateur RD de type donut est statistiquement significative ou simplement due à la variation d'échantillonnage.
• Comment interpréter l'ampleur des différences entre ces deux estimateurs dans le contexte des tests de spécification.

2. Méthodologie et cadre théorique

Les auteurs analysent les modèles RD de type donut dans le cadre de l'estimation linéaire locale. Ils considèrent un modèle de RD net (sharp RD) où la variable de forçage $X_i$ détermine le traitement $T_i = \mathbb{1}\{X_i \geq 0\}$.

2.1. L'estimateur de type donut

L'estimateur RD de type donut, $\hat{\tau}(h, d)$, est défini comme une régression linéaire locale qui exclut les observations où $|X_i| < d$, où $d$ est la taille du donut et $h$ est la largeur de fenêtre (bandwidth) ($d < h$). Cet estimateur englobe l'estimateur RD conventionnel comme un cas particulier où $d=0$.

2.2. Estimands et identification

Le document distingue deux objectifs potentiels de l'utilisation d'un modèle de type donut :

1. Estimation causale : Le chercheur postule une fonction hypothétique $\mu^*(x)$ qui coïncide avec l'espérance conditionnelle observée $\mu(x)$ à l'extérieur du donut ($|x| \geq d$) mais peut différer à l'intérieur. Le paramètre cible est le saut de $\mu^*(x)$ à zéro, $\tau^* = \mu^*_+ - \mu^*_-$.
2. Test de diagnostic / Test de spécification : Le chercheur teste l'hypothèse nulle selon laquelle les données observées à l'intérieur du donut sont compatibles avec les hypothèses de lissé qui régissent les données à l'extérieur du donut. Sous l'hypothèse nulle, $\mu(x) = \mu^*(x)$ pour tout $x$, impliquant $\tau = \tau^*$.

2.3. Régimes asymptotiques

L'analyse considère deux régimes asymptotiques concernant la taille du donut $d$ par rapport à la largeur de fenêtre $h$ :

• Asymptotique du petit donut : $d = ch$où$c \in [0, 1)$ est fixe et $h \to 0$. Cela modélise les scénarios où le voisinage exclu est petit par rapport à la fenêtre d'estimation.
• Asymptotique du grand donut : $d$ est fixe et $h \to d$. Cela modélise les scénarios où la fenêtre d'estimation est seulement légèrement plus grande que l'écart exclu.

2.4. Outils techniques clés

Les auteurs dérivent des approximations asymptotiques pour le biais et la variance de l'estimateur de type donut. Ils montrent que l'estimateur de type donut se comporte comme un estimateur conventionnel avec une fonction noyau modifiée $K_c(u) = K(u)\mathbb{1}\{|u| > c\}$. Par conséquent, les propriétés asymptotiques dépendent de nouvelles constantes de noyau $B_K(c)$ et $S_K(c)$, qui sont des intégrales sur le support tronqué $[c, 1]$.

Pour l'inférence, le document utilise des intervalles de confiance sensibles au biais (Armstrong et Kolesár, 2018 ; Kolesár et Rothe, 2018). Ces intervalles tiennent explicitement compte du pire biais autorisé par une borne de lissage $M$, plutôt que de s'appuyer sur une correction de biais d'ordre supérieur qui peut être sensible au tronquage.

3. Contributions clés et résultats

3.1. Estimation ponctuelle : Arbitrages biais-variance

Le document établit que le tronquage de type donut introduit une incertitude supplémentaire substantielle par rapport aux estimateurs RD conventionnels.

• Augmentation du biais et de la variance : Sous l'asymptotique du petit donut, l'exclusion d'observations à l'intérieur de 10 % de la largeur de fenêtre ($c=0.1$) augmente le biais asymptotique de 41 % à 63 % et la variance de 53 % à 61 %, selon la fonction noyau (Uniforme, Triangulaire ou Epanechnikov).
• Largeur de fenêtre optimale : Les auteurs caractérisent la largeur de fenêtre optimale pour l'erreur quadratique moyenne (MSE), $h_{MSE}(d)$. Ils montrent que pour les noyaux standards, la largeur de fenêtre optimale est monotone croissante en fonction de la taille du donut $d$.

3.2. Inférence : Validité des intervalles sensibles au biais

• Robustesse des IC sensibles au biais : Le document démontre que les intervalles de confiance sensibles au biais restent asymptotiquement valides pour les modèles RD de type donut sous les deux régimes asymptotiques (petit et grand donut) sans nécessiter d'ajustements spéciaux.
• Longueur des intervalles : Bien que valides, la présence d'un donut élargit considérablement ces intervalles. Pour $c=0.1$, la longueur asymptotique de l'intervalle de confiance augmente de 26 % à 33 % par rapport au cas conventionnel. Cette augmentation est principalement due à l'augmentation de l'erreur type, bien que la fonction de valeur critique y contribue également.
• Correction de biais robuste (RBC) : En revanche, le document note que les intervalles de confiance RBC (Calonico et al., 2014) ne maintiennent une couverture correcte que sous l'asymptotique du petit donut et souffrent d'une inflation de longueur encore plus grande (60 % à 66 % pour $c=0.1$) en raison de la sensibilité des polynômes d'ordre supérieur au tronquage.

3.3. Tests de spécification

Les auteurs développent des tests statistiques formels pour comparer les estimateurs conventionnels et de type donut, en tenant compte de la forte corrélation entre eux.

• Test 1 ($\Delta$) : Compare l'estimateur de type donut $\hat{\tau}(h, d)$ avec l'estimateur conventionnel $\hat{\tau}(h, 0)$. La statistique de test tient compte de la covariance entre les deux estimateurs.
• Test 2 ($\Gamma$) : Compare l'estimateur de type donut $\hat{\tau}(h, d)$ avec un estimateur « intra-donut » $\hat{\tau}(d, 0)$ (utilisant uniquement les données à l'intérieur du trou). Cette approche utilise des données non chevauchantes, ce qui produit des estimateurs statistiquement indépendants.
• Propriétés de puissance : L'analyse théorique et les simulations montrent que le test $\Gamma$ possède généralement de meilleures propriétés de puissance locale par rapport au test $\Delta$ contre une classe d'alternatives locales plausibles où l'espérance conditionnelle se comporte différemment à l'intérieur du donut.

3.4. Extensions aux RD flous (Fuzzy RD)

Le cadre est étendu aux modèles RD flous.

• Premier stade fort : Sous l'asymptotique du petit donut avec un premier stade fort, l'estimateur donut flou est asymptotiquement équivalent à un estimateur de type donut net appliqué à une variable de résultat auxiliaire. L'inférence standard sensible au biais s'applique.
• Premier stade faible : Dans les cas d'identification faible ou de grands donuts, l'estimation ponctuelle est généralement incohérente. Les auteurs recommandent d'utiliser des ensembles de confiance de type Anderson–Rubin et de mener des tests de spécification séparés pour le premier stade et la forme réduite, en ajustant via la correction de Bonferroni pour les tests multiples.

4. Illustrations empiriques

Le document illustre les méthodes à travers deux applications :

1. Contrats d'enseignants (Pakistan) : En revisitant Bau et Das (2020), les auteurs constatent que le tronquage de type donut (excluant une période de faible embauche) modifie radicalement l'estimation du premier stade des probabilités d'attribution de contrat. Les tests de spécification rejettent fortement le modèle RD flou conventionnel, suggérant que les résultats sont portés par la période exclue.
2. Faible poids à la naissance (États-Unis) : En revisitant Almond et al. (2010) et Barreca et al. (2011) concernant la mortalité infantile au seuil de 1 500 g. L'étude montre que l'exclusion des observations proches du seuil (en raison de l'arrondi/accumulation) réduit l'effet estimé de l'intervention médicale de 0,95 % à 0,16 %. Les tests de spécification indiquent que la différence entre l'estimateur conventionnel et l'estimateur de type donut est statistiquement significative, soutenant les préoccupations concernant les irrégularités des données au seuil.

5. Signification et affirmations

Le document fournit le premier fondement théorique formel pour les modèles RD de type donut, faisant passer la pratique d'une application heuristique à une inférence statistique rigoureuse.

• Clarification des arbitrages : Il quantifie le coût du tronquage de type donut, montrant que si cela peut traiter les menaces d'identification (comme la manipulation), cela se fait au prix d'une augmentation substantielle du biais et de la variance.
• Inférence valide : Il fournit un ensemble d'outils pour une inférence statistique valide (intervalles de confiance) qui prend correctement en compte l'incertitude introduite par le tronquage.
• Utilité diagnostique : Il formalise l'utilisation des modèles de type donut comme outils de diagnostic, offrant un moyen rigoureux de tester si les données proches du seuil se comportent de manière cohérente avec le reste de l'échantillon.

Les auteurs concluent que bien que le tronquage de type donut soit une stratégie utile pour traiter des problèmes de données spécifiques, les chercheurs doivent reconnaître l'augmentation substantielle de l'incertitude. Ils suggèrent que le choix de la taille du donut $d$ doit reposer sur la connaissance du sujet plutôt que sur une sélection purement basée sur les données, particulièrement lorsque l'objectif est une inférence causale valide. Dans les contextes de tests de spécification, cependant, explorer une gamme de valeurs de $d$ est réalisable et informatif.