Equivalence of Sobolev norms in Lebesgue spaces for Hardy operators in a half-space

1. Problématique et Contexte

L'article étudie les opérateurs de Schrödinger homogènes, appelés opérateurs de Hardy, définis dans un demi-espace $\mathbb{R}^d_+ = \mathbb{R}^{d-1} \times (0, \infty)$. L'opérateur considéré est :
$$L_\lambda^{(\alpha)} := (-\Delta)_{\mathbb{R}^d_+}^{\alpha/2} + \lambda x_d^{-\alpha}$$
où :

• $(-\Delta)_{\mathbb{R}^d_+}^{\alpha/2}$ est le Laplacien fractionnaire régional (ou Dirichlet si $\alpha=2$).
• $x_d$ est la coordonnée perpendiculaire à la frontière.
• $\lambda$ est une constante de couplage.
• $\alpha \in (0, 2]$.

Le problème central est de déterminer dans quelle mesure les espaces de Sobolev homogènes générés par cet opérateur avec potentiel ($L_\lambda$) sont équivalents à ceux générés par l'opérateur sans potentiel ($L_0 = (-\Delta)_{\mathbb{R}^d_+}^{\alpha/2}$). Plus précisément, les auteurs cherchent à établir l'équivalence des normes :
$$\|(L_\lambda)^{s/2} u\|_{L^p(\mathbb{R}^d_+)} \simeq \|(L_0)^{s/2} u\|_{L^p(\mathbb{R}^d_+)}$$
pour $s > 0$ et $p \in (1, \infty)$, sous certaines conditions sur les paramètres $d, \alpha, \lambda, p$.

Ce travail généralise des résultats antérieurs limités au cas $p=2$ (Frank et Merz, 2023) et s'inscrit dans un programme de recherche actif sur la caractérisation des domaines des puissances d'opérateurs de Schrödinger, crucial pour l'analyse d'équations non linéaires (Schrödinger non linéaire) et la mécanique quantique (atomes relativistes).

2. Méthodologie

La preuve repose sur une combinaison d'estimations de noyaux de chaleur, d'inégalités de Hardy généralisées et de nouvelles estimations de fonctions carrées (square functions).

A. Paramétrisation du couplage

Les auteurs introduisent un paramètre $\sigma$ lié à $\lambda$ via une fonction $C(\sigma)$ continue et symétrique. Cette paramétrisation permet de caractériser précisément le spectre admissible de $\lambda$ (notamment $\lambda \ge \lambda_*$, la constante critique de Hardy) en fonction de $\sigma$.

B. Estimations du noyau de chaleur

Une partie majeure du travail consiste à établir des bornes pointuelles et spatialement moyennées pour le noyau de chaleur $e^{-tL_\lambda}(x, y)$.

• Pour $\lambda \ge 0$ (cas répulsif ou nul), les bornes sont connues et impliquent des poids singuliers de la forme $(1 \wedge x_d/t^{1/\alpha})^\sigma$.
• Pour $\lambda < 0$ (cas attractif, $\lambda \in [\lambda_*, 0)$), les auteurs supposent que ces bornes s'étendent (ce qui est partiellement prouvé pour $d=1$). Ils montrent que leurs résultats principaux restent valables sous cette hypothèse.

C. Fonctions carrées continues (Square Functions)

Pour contourner la difficulté de définir $(L_\lambda)^{s/2}$ dans $L^p$ ($p \neq 2$), les auteurs utilisent une approche basée sur les fonctions carrées continues plutôt que sur les projections de Littlewood-Paley classiques. Ils définissent :
$$(S_{L_\lambda, \gamma} f)(x) := \left( \int_0^\infty |(tL_\lambda)^\gamma e^{-tL_\lambda} f|^2 \frac{dt}{t} \right)^{1/2}$$
Ils prouvent que $\|S_{L_\lambda, \gamma} f\|_p \simeq \|f\|_p$ pour $1 < p < \infty$. Cette équivalence est démontrée en utilisant des théorèmes de bornitude pour les intégrales singulières au-delà du cadre de Calderón-Zygmund (théorèmes d'Auscher), adaptés aux poids singuliers du demi-espace.

D. Inégalités de Hardy inversées et généralisées

Deux ingrédients clés sont établis pour comparer $L_\lambda$ et $L_0$ :

1. Inégalité de Hardy inversée (Théorème 1.6) : Elle fournit une borne inférieure pour le potentiel de Hardy en termes d'une fonction carrée mesurant la différence entre les semi-groupes de $L_\lambda$ et $L_0$. Cela nécessite des estimations fines sur la différence des noyaux $tL_\lambda e^{-tL_\lambda} - tL_0 e^{-tL_0}$.
2. Inégalité de Hardy généralisée (Théorème 1.8) : Elle fournit une borne supérieure pour les puissances du potentiel $x_d^{-\alpha s/2}$ en termes de l'opérateur $L_\lambda$. Cela repose sur des estimations de noyaux de Riesz pour $L_\lambda^{-s/2}$.

3. Résultats Principaux

Le résultat central est le Théorème 1.1, qui établit l'équivalence des normes de Sobolev sous des conditions précises sur $p$ et $s$.

Soit $\sigma$ défini par la relation avec $\lambda$. Pour $s \in (0, 2] \cap (0, 2d/\alpha)$ :

• Partie (a) : Si $1/p > \frac{\alpha s}{2} - \sigma$, alors :
  $$\|(L_0)^{s/2} u\|_p \lesssim \|(L_\lambda)^{s/2} u\|_p$$
• Partie (b) : Si $1/p > \frac{\alpha s}{2} - (\alpha-1)_+$, alors :
  $$\|(L_\lambda)^{s/2} u\|_p \lesssim \|(L_0)^{s/2} u\|_p$$
• Équivalence : Si les deux conditions sont réunies (c'est-à-dire $1/p > \max\{ \frac{\alpha s}{2} - (\alpha-1)_+, \frac{\alpha s}{2} - \sigma \}$), les normes sont équivalentes.

Conséquences immédiates :

• Corollaire 1.2 : Boundedness des transformées de Riesz associées à $L_0$ et $L_\lambda$.
• Densité (Théorème 1.10) : L'ensemble $(L_\lambda)^{s/2} C_c^\infty(\mathbb{R}^d_+)$ est dense dans $L^p(\mathbb{R}^d_+)$ sous les mêmes conditions, ce qui permet de définir rigoureusement les espaces de Sobolev.

4. Contributions Clés et Innovations

1. Extension au cas $p \neq 2$ : C'est la première fois que l'équivalence des normes de Sobolev pour ces opérateurs de Hardy dans un demi-espace est prouvée pour tout $p \in (1, \infty)$, dépassant le cadre $L^2$ traité précédemment.
2. Gestion des potentiels attractifs ($\lambda < 0$) : Bien que les preuves formelles pour $\lambda < 0$ dépendent de l'extension des bornes de noyaux de chaleur (encore ouverte pour $d>1$), les auteurs montrent explicitement comment leurs résultats s'appliquent dès que ces bornes sont établies, étendant ainsi la portée des travaux antérieurs.
3. Nouvelles estimations de fonctions carrées : La preuve de la bornitude des fonctions carrées pour des opérateurs avec des noyaux de chaleur à décroissance lente et des poids singuliers est une contribution technique majeure, utilisant des méthodes d'analyse harmonique avancées (théorèmes d'Auscher).
4. Inégalités de Hardy inversées : L'établissement d'une inégalité de Hardy inversée reliant le potentiel à la différence des semi-groupes est un outil technique nouveau et puissant pour ce type de problème.

5. Signification et Applications

Ce travail a une importance significative tant sur le plan théorique qu'appliqué :

• Physique Mathématique : Les opérateurs de Hardy modélisent des systèmes à interactions critiques, tels que les atomes relativistes ou les systèmes à N corps avec des interactions fortes. L'équivalence des normes permet de remplacer l'opérateur complexe $L_\lambda$ par le Laplacien fractionnaire $L_0$ (plus simple à manipuler) pour obtenir des estimations a priori.
• Équations Non Linéaires : Les résultats ouvrent la voie à l'étude de l'existence globale et du comportement asymptotique (scattering) des solutions d'équations de Schrödinger non linéaires avec des potentiels de Hardy ou des conditions aux limites de Dirichlet sur des obstacles convexes.
• Analyse Harmonique : Le papier enrichit la théorie des espaces de Sobolev pondérés et des opérateurs pseudo-différentiels dans des géométries non standards (demi-espace), en fournissant des outils robustes pour traiter les singularités au bord.

En résumé, ce papier fournit un cadre complet et rigoureux pour l'analyse des opérateurs de Hardy dans les espaces $L^p$, comblant un vide important entre les résultats $L^2$ et les applications pratiques nécessitant des espaces $L^p$ généraux.