Sharp quantitative stability for the fractional Sobolev trace inequality

Résumé technique : Stabilité quantitative de l'inégalité de trace de Sobolev fractionnaire

Configuration du problème
Cet article étudie la stabilité quantitative de l'inégalité de trace de Sobolev fractionnaire, établie initialement par Einav et Loss. L'inégalité stipule que pour $0 \le m < n$ et $m/2 < \alpha < n/2$, il existe une constante exacte $S(n, m, \alpha)$ telle que :
$$S(n, m, \alpha) \|\tau_m f\|_{L^q(\mathbb{R}^{n-m})}^2 \le \|f\|_{D^\alpha(\mathbb{R}^n)}^2$$
où $q = \frac{2(n-m)}{n-2\alpha}$, $\tau_m$ désigne la restriction à l'hyperplan $\mathbb{R}^{n-m}$, et $D^\alpha(\mathbb{R}^n)$ est l'espace de Sobolev fractionnaire. Les fonctions extrémales forment une variété $M_{n,m,\alpha}$.

Les auteurs analysent la stabilité de cette inégalité dans deux contextes distincts :

1. Contexte fonctionnel : quantifier la distance d'une fonction $f$ par rapport à la variété des extrémales $M_{n,m,\alpha}$ en fonction du déficit de l'inégalité.
2. Contexte des points critiques : analyser la stabilité des solutions de l'équation d'Euler-Lagrange associée (l'équation de trace d'Escobar) sur le demi-espace $\mathbb{R}^n_+$, spécifiquement lorsqu'une solution est proche d'une superposition de « bulles d'Escobar ».

Méthodologie
L'article emploie une combinaison de principes de réduction, d'analyse spectrale et de techniques de décomposition de profils.

• Principe de réduction : Dans le contexte fonctionnel, les auteurs utilisent un principe de réduction (Théorème 3.3) établi par Einav et Loss. Ce principe décompose l'inégalité de trace de Sobolev fractionnaire en une composition d'un opérateur de réduction $\tau_m$ et d'une inégalité de Sobolev fractionnaire standard. Cela permet aux auteurs de réduire le problème de stabilité de l'inégalité de trace à la stabilité connue des inégalités de Sobolev fractionnaires (stabilité de type Bianchi-Egnell).
• Schéma dual : Pour dériver les estimations de stabilité pour le problème de Neumann (le dual de l'inégalité de trace), les auteurs appliquent un schéma dual développé par Carlen. Cela implique l'analyse des transformées de Legendre des fonctionnels pertinents et l'utilisation des propriétés de convexité des fonctionnels duaux.
• Décomposition de profil : Dans le contexte des points critiques, ils étendent le principe de compacité globale de Struwe. Ils établissent des décompositions de profils tant qualitatives que quantitatives pour des séquences de fonctions qui sont « presque » solutions de l'équation critique. Cela implique de séparer la solution en une somme de bulles d'Escobar interagissant et un terme de reste.
• Écart spectral et application conforme : Pour obtenir des bornes supérieures nettes pour la constante de stabilité dans le cas de la bulle unique, les auteurs emploient une application conforme entre le demi-espace $\mathbb{R}^n_+$ et la boule unité $B^n$. Cette transformation lie l'opérateur linéarisé du problème au problème des valeurs propres de Steklov sur la boule. En analysant le spectre du problème de Steklov, ils dérivent une inégalité d'écart spectral raffinée.
• Expansion du troisième ordre : Pour la borne supérieure de la constante de stabilité dans le cas de la bulle unique, les auteurs effectuent une expansion précise du troisième ordre de la norme duale, en traitant soigneusement les termes d'interaction et la géométrie de la variété.

Contributions clés et résultats

1. Estimation de stabilité fonctionnelle nette :
   Les auteurs établissent une estimation de stabilité quantitative nette pour l'inégalité de trace de Sobolev fractionnaire :
   $$C \inf_{v \in M_{n,m,\alpha}} \|f - v\|_{D^\alpha(\mathbb{R}^n)}^2 \le \|f\|_{D^\alpha(\mathbb{R}^n)}^2 - S(n, m, \alpha) \|\tau_m f\|_{L^q(\mathbb{R}^{n-m})}^2$$
   Ils prouvent que l'exposant 2 est net et fournissent des bornes supérieures et inférieures explicites pour la constante de stabilité optimale $C_{BE}(n, m, \alpha)$. Crucialement, ils montrent que $C_{BE}(n, m, \alpha) = C_{BE}(n-m, 0, \alpha - m/2)$, ce qui réduit effectivement le problème de trace au problème de Sobolev fractionnaire standard. Ils prouvent également l'existence de minimiseurs pour la constante de stabilité lorsque $n-m \ge 2$.

2. Inégalités de trace améliorées et stabilité de Neumann :
   En tant que corollaire du résultat de stabilité du gradient, les auteurs dérivent des plongements de Sobolev améliorés pour des fonctions supportées dans des domaines généraux (incluant les bandes) avec des termes de reste impliquant des normes $L^q$ faibles. De plus, en utilisant le schéma dual, ils établissent une estimation de stabilité a priori nette pour le problème de Neumann sur le demi-espace, reliant le déficit dans l'inégalité duale à la distance par rapport à la variété des extrémales du problème de Neumann.

3. Décomposition de profil quantitative :
   Dans le contexte des points critiques, les auteurs prouvent un théorème de décomposition de profil quantitative. Ils montrent que si une fonction $u$ est proche d'une somme de $\nu$ bulles d'Escobar interagissant faiblement (dans la norme $H^1$), alors la distance à la variété de ces bulles est contrôlée linéairement par la norme $H^{-1}$ du résidu $\|\Delta u + |u|^{p-1}u\|_{H^{-1}}$. Ce résultat s'applique aux fonctions non négatives et étend les travaux précédents sur l'équation de Yamabe classique au cadre de la trace d'Escobar.

4. Borne supérieure nette pour la constante de stabilité :
   Pour le cas de la bulle unique ($\nu=1$), les auteurs dérivent une borne supérieure stricte pour la constante de stabilité optimale $CCP(n, 1)$ :
   $$CCP(n, 1) < \frac{2}{n+2}$$
   Ce résultat est obtenu en construisant une fonction de test spécifique impliquant une perturbation du troisième ordre de la bulle extrémale et en utilisant l'inégalité d'écart spectral dérivée du problème de la valeur propre de Steklov.

Signification
L'article prétend étendre les résultats de stabilité précédents sur l'inégalité de trace d'Escobar et l'inégalité de Sobolev fractionnaire. En établissant un principe de réduction, les auteurs unifient l'analyse de stabilité de l'inégalité de trace avec celle de l'inégalité de Sobolev fractionnaire standard. La dérivation de bornes explicites pour les constantes de stabilité et la preuve de l'existence de minimiseurs (dans le contexte fonctionnel) répondent à des questions ouvertes concernant la nature quantitative de ces inégalités.

Dans le contexte des points critiques, ce travail fournit la première décomposition de profil quantitative pour l'équation de trace d'Escobar, généralisant les résultats connus pour l'équation de Yamabe classique. La borne supérieure stricte $2/(n+2)$ pour la constante de stabilité dans le cas de la bulle unique est un raffinement significatif, améliorant les estimations génériques et mettant en évidence les propriétés spectrales spécifiques de l'opérateur linéarisé dans ce contexte. Les auteurs notent que la non-dégénérescence des solutions, cruciale pour ces résultats quantitatifs, est établie via la connexion au problème de la valeur propre de Steklov, un lien qui peut faire l'objet d'un intérêt indépendant.