Inversion of adjunction for quotient singularities III: semi-invariant case

1. Énoncé du problème et contexte

L'article traite de deux conjectures centrales en géométrie birationnelle concernant les discrépances logiques minimales (mld) :

1. La conjecture LSC (Semi-continuité inférieure) : Proposée par Ambro, cette conjecture énonce que la fonction qui associe à un point fermé $x$ sa discrépance logique minimale $\text{mld}_x(X, \mathfrak{a})$ est semi-continue inférieurement.
2. La conjecture PIA (Inversion de l'adjonction) : Cette conjecture relie la mld d'une paire $(X, D, \mathfrak{a})$ à la mld du diviseur $D$ lui-même, affirmant spécifiquement que $\text{mld}_x(X, D, \mathfrak{a}) = \text{mld}_x(D, \mathfrak{a}|_D)$ sous certaines conditions.

Travaux antérieurs :
Les auteurs ont précédemment démontré ces conjectures pour les quotients de variétés d'intersection complète définies par des équations invariantes (où $g(f) = f$ pour tout $g \in G$) par des groupes linéaires finis dans leur article [NS22].

Le vide à combler :
De nombreuses singularités importantes, en particulier les singularités terminales de dimension 3, proviennent de quotients de variétés définies par des équations semi-invariantes (où $g(f) = \chi(g)f$ pour un caractère $\chi$). Le cadre précédent, limité aux invariants, était insuffisant pour traiter ces cas. L'objectif de cet article est d'étendre les résultats des équations invariantes aux équations semi-invariantes.

2. Méthodologie

Les auteurs emploient la théorie des espaces d'arcs (spécifiquement la théorie de Denef-Loeser) pour calculer les discrépances logiques minimales. La méthodologie centrale comprend les étapes suivantes :

A. Mise en place et définitions

• Variétés : Soit $A = \mathbb{A}^N_k$ et $G \subset \text{GL}_N(k)$ un groupe fini. Soit $Y \subset A$ une intersection complète définie par $c$ polynômes semi-invariants $f_1, \dots, f_c$.
• Quotient : La variété d'intérêt est $Y/G$.
• Semi-invariance : Un polynôme $f$ est $G$-semi-invariant si pour tout $\gamma \in G$, $\gamma(f) = \xi^{a} f$ pour une certaine racine de l'unité $\xi$ et un entier $a$. Les auteurs définissent un poids $w_\gamma(f) = a/d$ (où $d = |G|$).

B. Modification de la construction de l'espace d'arcs

Dans le cas invariant ([NS22]), les auteurs ont construit un schéma $B^{(\gamma)}$ sur $k[t]$ pour étudier l'espace d'arcs du quotient. Pour les équations semi-invariantes, la construction standard échoue car les équations transformées $\lambda^*_\gamma(f_i)$ ne sont pas nécessairement dans $R[t]$.

Innovation technique clé :

1. Transformation pondérée : Les auteurs introduisent un homomorphisme modifié $\lambda^*_\gamma$ et définissent le schéma $B^{(\gamma)}$ en utilisant l'idéal engendré par des termes pondérés :
   $$\lambda^*_\gamma(f_i) t^{-w_\gamma(f_i)}$$
   Cela garantit que les générateurs appartiennent à $R[t]$, permettant la construction d'un schéma $k[t]$ bien défini.
2. Extension à $k[t^{1/d}]$ : Pour traiter correctement le faisceau des différentielles et les idéaux jacobiens, les auteurs étendent la base de $k[t]$ à $k[t^{1/d}]$. Ils définissent un schéma $B^{(\gamma)}_{1/d}$ et un faisceau inversible spécifique $\mathcal{L}_{B^{(\gamma)}_{1/d}}$ qui joue le rôle du faisceau canonique relatif.
3. Comparaison des jacobiens : Ils établissent des relations précises entre les idéaux jacobiens des morphismes impliqués (spécifiquement $\mu_\gamma$ et $p$) et les idéaux de Nash de la variété originale $B$. Cela implique le calcul de l'ordre du jacobien du morphisme entre les espaces d'arcs.

C. La formule principale

Les auteurs dérivent une formule pour la discrépance logique minimale à l'origine $x$ de la variété quotient $Y/G$ :
$$\text{mld}_x(Y/G, \mathfrak{a}^\tau) = \inf_{\gamma \in G, b_1, b_2 \in \mathbb{Z}_{\ge 0}} \left\{ \text{codim}(C_{\gamma, b_1, b_2}) + \text{age}(\gamma) - w_\gamma(f) - b_2 - \tau b_1 \right\}$$
Ici, $w_\gamma(f) = \sum w_\gamma(f_i)$ est le nouveau terme introduit par la nature semi-invariante des équations. Le terme $\text{age}(\gamma)$ est l'âge standard de l'élément du groupe, et $C_{\gamma, b_1, b_2}$ sont des lieux de contact spécifiques dans l'espace d'arcs du schéma modifié $B^{(\gamma)}$.

3. Contributions et résultats clés

A. Théorème 1.5 (Inversion de l'adjonction pour les quotients)

Il s'agit du résultat technique central. Il établit une égalité précise entre la mld de la variété quotient $Y/G$ et la mld de l'espace ambiant $A/G$ avec un faisceau d'idéaux spécifique :
$$\text{mld}_y(Y, \mathfrak{a}\mathcal{O}_Y) = \text{mld}_y\left(X, (f_1^d \cdots f_c^d)^{1/d} \mathfrak{a}\right)$$
Cette formule réduit efficacement le problème sur le quotient singulier $Y$ à un problème sur le quotient ambiant $X$, ajusté par le produit des équations définissantes élevé à la puissance de l'ordre du groupe.

B. Théorème 1.4 (Conjecture PIA pour les cas semi-invariants)

En utilisant le résultat ci-dessus, les auteurs prouvent la conjecture PIA pour les quotients de groupes linéaires finis d'intersections complètes définies par des équations semi-invariantes. Plus précisément, si $D$ est un diviseur de Cartier klt sur $Y$, alors :
$$\text{mld}_y(Y, D, \mathfrak{a}) = \text{mld}_y(D, \mathfrak{a}|_D)$$

C. Théorème 1.2 (Conjecture LSC pour les cas semi-invariants)

L'article démontre que la fonction de discrépance logique minimale est semi-continue inférieurement pour les variétés $Y/G$ définies par des équations semi-invariantes.

• Signification : Cela étend la validité connue de la conjecture LSC à une classe plus large de singularités, y compris les singularités terminales de dimension 3.

4. Signification et impact

1. Résolution des singularités terminales 3D : La classification des singularités terminales de dimension 3 (par Reid et Mori) montre qu'elles sont des quotients de points lisses ou de points cDV. Ceux-ci impliquent souvent des équations semi-invariantes. En prouvant les conjectures LSC et PIA pour ce cas, les auteurs fournissent une fondation théorique complète pour le comportement de la mld en dimension 3.
2. Généralisation de la théorie des espaces d'arcs : L'article adapte avec succès la théorie des espaces d'arcs de Denef-Loeser pour traiter les équations semi-invariantes. L'introduction du poids $w_\gamma(f)$ et l'extension aux schémas $k[t^{1/d}]$ sont des outils techniques novateurs qui pourraient être applicables à d'autres problèmes impliquant des actions de groupes avec des caractères non triviaux.
3. Fondement pour la terminaison des flips : Puisque les conjectures LSC et ACC impliquent la terminaison des flips (une étape cruciale dans le Programme du Modèle Minimal), ce résultat renforce les fondements théoriques du MMP dans le contexte des singularités de quotient.

5. Conclusion

Nakamura et Shibata généralisent avec succès leurs travaux antérieurs sur les équations invariantes au cas semi-invariant plus complexe. En modifiant soigneusement la construction des espaces d'arcs et en introduisant un terme de correction de poids $w_\gamma(f)$, ils prouvent l'Inversion de l'adjonction et la Semi-continuité inférieure des discrépances logiques minimales pour une large classe de singularités de quotient. Ce travail est une étape critique vers une compréhension complète des singularités en géométrie birationnelle de dimension supérieure, en particulier celles issues d'actions de groupes finis.