Exponential sums over Möbius convolutions with applications to partitions

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à une question arithmétique fine concernant les partitions d'un entier positif $n$. Les auteurs définissent une notion de partition "admissible" basée sur la parité du nombre de facteurs premiers des parties (les entiers qui composent la somme) :

• Parties bleues (B) : Entiers sans facteur carré ayant un nombre pair de facteurs premiers.
• Parties rouges (R) : Entiers sans facteur carré ayant un nombre impair de facteurs premiers.
• Contrainte : Une partition est admissible si chaque partie est soit bleue, soit rouge, et si chaque partie rouge n'apparaît qu'au plus une fois.

On distingue ensuite les partitions admissibles en deux catégories :

• Partitions paires : Le nombre de parties rouges utilisées est pair.
• Partitions impaires : Le nombre de parties rouges utilisées est impair.

La question centrale est de savoir si, lorsque $n \to \infty$, le nombre de partitions paires est asymptotiquement égal au nombre de partitions impaires.
Mathématiquement, cela revient à étudier la fonction de partition pondérée $p_\mu(n)$, définie par la fonction génératrice :
$$\sum_{n=1}^\infty p_\mu(n) z^n = \prod_{n=1}^\infty (1-z^n)^{-\mu(n)}$$
où $\mu$ est la fonction de Möbius. La différence entre le nombre de partitions paires ($E(n)$) et impaires ($O(n)$) est exactement $p_\mu(n) = E(n) - O(n)$. Si $p_\mu(n)$ est négligeable par rapport au nombre total de partitions, alors $E(n) \sim O(n)$.

L'article généralise ce problème en remplaçant la fonction de Möbius $\mu$ par des convolutions de Möbius $\mu_k = \mu * \mu * \dots * \mu$ ($k$ fois), et étudie les sommes exponentielles associées à ces fonctions arithmétiques.

2. Méthodologie

Les auteurs utilisent une approche combinant l'analyse complexe et la théorie analytique des nombres, structurée autour de la méthode du cercle de Hardy-Littlewood.

A. Sommes Exponentielles (Arcs Mineurs)

Le cœur de la difficulté réside dans l'estimation des sommes exponentielles de la forme :
$$S_{\mu_k}(X, \alpha) = \sum_{n \le X} \mu_k(n) e(n\alpha)$$
où $\alpha$ est un nombre réel.

• Stratégie : Pour les arcs mineurs (où $\alpha$ est mal approché par des rationnels), les auteurs doivent obtenir des bornes supérieures fortes pour ces sommes.
• Outils : Ils développent des estimations de type I et de type II pour les convolutions de Dirichlet, en s'appuyant sur des lemmes de Koukoulopoulos et en les adaptant aux convolutions de Möbius.
• Technique de décomposition : Ils décomposent la fonction arithmétique en utilisant la formule d'inversion de Möbius et des intervalles dyadiques pour isoler les contributions des petits et grands facteurs. Cela permet d'appliquer des inégalités de Cauchy-Schwarz et des bornes sur les sommes de diviseurs.

B. Arcs Majeurs et Formule Explicite

Pour les arcs majeurs (où $\alpha$ est proche d'un rationnel $a/q$), les auteurs analysent le comportement de la fonction génératrice $\Psi(z)$.

• Transformation de Mellin-Cahen : Ils expriment la fonction génératrice sous forme d'intégrale de contour.
• Déplacement de contour : En déplaçant le contour d'intégration vers la gauche dans le plan complexe, ils capturent les résidus aux pôles de l'intégrande.
• Lien avec $\zeta(s)$ : Les pôles proviennent des zéros triviaux et non triviaux de la fonction zêta de Riemann $\zeta(s)$. Cela permet d'établir une formule explicite reliant la fonction de partition aux zéros de $\zeta(s)$.

3. Résultats Principaux

Théorème 1.1 : Équivalence asymptotique

Le résultat principal répond à la question initiale : Le nombre de partitions admissibles paires est asymptotiquement égal au nombre de partitions admissibles impaires.
Plus précisément, pour $k=1$ (cas de $\mu$) et $k=2$ (cas de $\mu * \mu$), la différence $p_{\mu_k}(n)$ est très petite par rapport au nombre total de partitions.

Théorème 1.2 : Bornes supérieures sur $p_{\mu \ast \mu}(n)$

Pour tout $B > 0$ fixé et pour tout $n \ge 2$ :
$$\log p_{\mu \ast \mu}(n) = O_B\left( \frac{\sqrt{n}}{(\log n)^B} \right)$$
Cette borne montre que $p_{\mu \ast \mu}(n)$ croît beaucoup plus lentement que le nombre total de partitions (qui croît comme $e^{C\sqrt{n}}$), confirmant ainsi que la différence entre les partitions paires et impaires est négligeable.

Théorèmes 1.4 à 1.7 : Bornes sur les sommes exponentielles

Les auteurs établissent des bornes précises pour les sommes exponentielles twistées par les convolutions de Möbius.

• Théorème 1.4 (Cas $\mu$) : Une borne de type $X^{4/5+\epsilon}$ est obtenue, améliorant les résultats classiques dans certains régimes.
• Théorème 1.5 (Cas $\mu_k$) : Une borne générale est prouvée par récurrence pour $\mu_k$, dépendant de paramètres $a_k, b_k, c_k$ qui évoluent avec $k$.
• Théorèmes 1.6 et 1.7 : Des bornes sont également établies pour des convolutions impliquant les fonctions indicatrices des entiers sans facteur carré et des entiers "squarefull".

Théorème 1.3 : Formule explicite

L'article fournit une formule explicite pour $\Phi_{\mu \ast \mu}(\rho e(\theta))$ (la partie logarithmique de la fonction génératrice) qui fait intervenir :

1. Des termes principaux liés à $\log X$.
2. Une somme sur les zéros non triviaux $\rho$ de la fonction zêta de Riemann.
3. Une somme sur les zéros triviaux (entiers pairs négatifs).
   Cette formule est l'analogue partitionnel de la formule explicite classique de la théorie des nombres (liant $\psi(x)$ aux zéros de $\zeta(s)$).

4. Contributions Clés

1. Résolution d'une conjecture sur les partitions signées : Démonstration rigoureuse que les partitions "paires" et "impaires" (selon la définition arithmétique donnée) sont équilibrées asymptotiquement, malgré la nature oscillatoire de la fonction de Möbius.
2. Généralisation aux convolutions de Möbius : Extension des résultats au-delà de $\mu$ vers $\mu_k$, ce qui est techniquement plus complexe car la structure multiplicative est plus riche.
3. Nouvelles bornes pour les sommes exponentielles : Développement de techniques nouvelles pour majorer les sommes exponentielles impliquant des convolutions de Möbius, un problème ouvert difficile en théorie analytique des nombres.
4. Lien explicite avec les zéros de Riemann : La dérivation d'une formule explicite pour les partitions pondérées par $\mu * \mu$, reliant directement la distribution des partitions aux zéros de la fonction zêta, offrant une perspective nouvelle sur l'interaction entre la théorie additive et la théorie multiplicative.

5. Signification et Impact

Cet article est significatif car il traite d'un cas où les poids des partitions ne sont pas positifs (la fonction de Möbius prend des valeurs $-1, 0, 1$), ce qui rend l'obtention d'une formule asymptotique classique impossible (le terme principal s'annule souvent). Au lieu d'une formule asymptotique précise pour le nombre total, les auteurs obtiennent une borne supérieure très forte sur la différence entre les deux sous-ensembles de partitions.

Cela démontre que les fluctuations dues à la fonction de Möbius s'annulent presque parfaitement dans le contexte des partitions, un phénomène profond lié à l'hypothèse de Riemann (bien que les résultats soient inconditionnels). Les méthodes développées pour estimer les sommes exponentielles sur les convolutions de Möbius ouvrent la voie à l'étude d'autres problèmes de partitions pondérées par des fonctions arithmétiques oscillantes.