Nonexistence of Hölder continuous solution for the Camassa-Holm equation in Besov spaces

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse au problème de Cauchy pour l'équation classique de Camassa-Holm (CH), qui modélise la propagation des ondes de surface dans les canaux peu profonds :
$$\begin{cases} u_t - u_{xxt} + 3uu_x = 2u_x u_{xx} + u u_{xxx}, & (x, t) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^+, \\ u(x, 0) = u_0(x), & x \in \mathbb{R}. \end{cases}$$
Cette équation peut être réécrite sous forme d'une équation de transport :
$$\partial_t u + u\partial_x u = P(u) := -\partial_x(1-\partial_x^2)^{-1}\left(u^2 + \frac{1}{2}(\partial_x u)^2\right).$$

État de l'art :
Des travaux antérieurs (notamment Danchin, Li-Yin) ont établi l'existence locale et l'unicité de solutions fortes dans les espaces de Besov inhomogènes $B^s_{p,r}(\mathbb{R})$ pour des données initiales $u_0 \in B^s_{p,r}$, sous les conditions :

• $s > \max\{1 + 1/p, 3/2\}$ avec $(p, r) \in [1, \infty] \times [1, \infty)$,
• ou $s = 1 + 1/p$ avec $r=1$.

Il est connu que l'application données-solutions $u_0 \mapsto S_t(u_0)$ est continue de $B^s_{p,r}$ vers $C([0, T]; B^s_{p,r})$. Cependant, une question fondamentale restait ouverte : la solution est-elle Hölderienne en temps ? Autrement dit, la solution appartient-elle à l'espace $C^\alpha([0, T]; B^s_{p,r})$ pour un certain $\alpha \in (0, 1)$ ?

Objectif de l'article :
Démontrer que, même pour des données initiales régulières ($u_0 \in B^s_{p,r}$), la solution de l'équation de Camassa-Holm n'est pas Hölderienne en temps dans la norme de Besov. Plus précisément, la continuité temporelle ne peut pas être améliorée au-delà de la continuité simple.

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2. Méthodologie

Les auteurs adoptent une approche constructive et analytique basée sur les outils de l'analyse harmonique, spécifiquement la décomposition de Littlewood-Paley et les espaces de Besov.

A. Construction de Données Initiales Spécifiques

Les auteurs construisent une famille de données initiales $u_0$ par superposition de modes oscillants à haute fréquence. La donnée initiale est définie comme :
$$u_0(x) := \sum_{n=3}^{\infty} n^{-2} 2^{-ns} \phi(x) \cos\left(\frac{17}{12} 2^n x\right),$$
où $\phi$ est une fonction lisse à support compact. Cette construction permet de contrôler précisément la norme de Besov de $u_0$ tout en isolant le comportement d'une fréquence spécifique $2^n$ pour l'analyse asymptotique.

B. Estimations d'Erreur et Développement de Taylor

L'analyse repose sur l'étude de la différence entre la solution $S_t(u_0)$ et la donnée initiale $u_0$. Les auteurs utilisent la formule de Newton-Leibniz pour écrire :
$$S_t(u_0) - u_0 = t \cdot e_{u_0} + w(t),$$
où $e_{u_0} = P(u_0) - u_0 \partial_x u_0$ représente le terme de premier ordre (dérivée temporelle à $t=0$) et $w(t)$ est le terme d'erreur résiduel.

L'objectif est de montrer que le terme dominant $t \cdot e_{u_0}$ ne s'annule pas dans la norme de Besov, tandis que le terme d'erreur $w(t)$ est d'un ordre supérieur en $t$.

C. Distinction des Cas de Régularité

La preuve est divisée en deux cas selon la régularité de l'espace $B^s_{p,r}$ :

1. Cas $s > \max\{1 + 1/p, 3/2\}$ : Les auteurs établissent que l'erreur $w(t)$ est de l'ordre de $O(t^2)$ dans la norme $B^{s-2}_{p,r}$.
2. Cas $1 + 1/p < s \le 3/2$ (et le cas critique $s=1+1/p, r=1$) : Grâce à des estimations subtiles utilisant la décomposition de Bony et des arguments d'interpolation, ils montrent que l'erreur $w(t)$ est de l'ordre de $O(t^s)$ dans la norme $B^0_{p,r}$.

D. Argument de Contre-Exemple

En combinant la construction de $u_0$ (Lemme 3.1) qui garantit que $\|u_0 \partial_x \Delta_n u_0\|_{L^p}$ est grand, avec les estimations d'erreur, ils démontrent que pour un temps $t_n$ choisi judicieusement (dépendant de $n$), le rapport :
$$\frac{\|S_{t_n}(u_0) - u_0\|_{B^s_{p,r}}}{t_n^\alpha}$$
tend vers l'infini lorsque $n \to \infty$, pour tout $\alpha \in (0, 1)$.

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3. Résultats Principaux

Théorème 1.1 (Non-existence de régularité Hölderienne)

Sous les hypothèses standards d'existence locale ($s > 1 + 1/p$ ou $s=1+1/p, r=1$), pour tout $\alpha \in (0, 1)$, il existe une donnée initiale $u_0 \in B^s_{p,r}(\mathbb{R})$ telle que :
$$\limsup_{t \to 0^+} \frac{\|S_t(u_0) - u_0\|_{B^s_{p,r}}}{t^\alpha} = +\infty.$$
Cela signifie que la solution n'appartient pas à $C^\alpha([0, T]; B^s_{p,r})$. La continuité temporelle est strictement inférieure à la régularité Hölderienne.

Corollaire 1.1 (Mal-poséness dans $B^s_{p, \infty}$)

Comme sous-produit de la preuve, les auteurs établissent l'ill-poséness (au sens de la discontinuité de l'application données-solutions) pour l'équation de Camassa-Holm dans l'espace $B^s_{p, \infty}(\mathbb{R})$ pour $s > 1 + 1/p$.
Il existe $u_0 \in B^s_{p, \infty}$ et $\varepsilon_0 > 0$ tels que :
$$\limsup_{t \to 0^+} \|S_t(u_0) - u_0\|_{B^s_{p, \infty}} \ge \varepsilon_0.$$
Cela généralise les résultats précédents (comme ceux de Guo-Liu-Molinet-Yin) en élargissant la plage de régularité $s$ (notamment pour $1+1/p < s \le 3/2$).

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4. Contributions Clés et Signification

1. Résolution d'une question ouverte : C'est le premier travail à adresser spécifiquement l'échec de la régularité Hölderienne en temps pour l'équation de Camassa-Holm classique. Cela complète la compréhension de la régularité des solutions, confirmant que l'application données-solutions est continue mais pas Hölderienne.
2. Extension des résultats d'ill-poséness : Le Corollaire 1.1 étend les résultats d'ill-poséness dans l'espace $B^s_{p, \infty}$ à des régularités plus faibles ($s \le 3/2$), comblant un vide dans la littérature précédente qui se concentrait souvent sur $s > 3/2$.
3. Techniques d'estimation fines : L'article développe des estimations d'erreur précises pour le terme résiduel $w(t)$ dans des régimes de régularité critiques ($s \le 3/2$), utilisant des combinaisons astucieuses de la décomposition de Bony et des inégalités d'interpolation dans les espaces de Besov.
4. Généralité : Les résultats s'appliquent non seulement à l'équation CH, mais aussi à l'équation de Novikov et à la famille $b$-équation (comme mentionné dans la remarque 1.3), suggérant que ce phénomène de non-régularité Hölderienne est une caractéristique intrinsèque de cette classe d'équations d'ondes non linéaires.

Conclusion

Ce papier démontre rigoureusement que, pour l'équation de Camassa-Holm, la régularité temporelle de la solution dans les espaces de Besov est limitée à la continuité simple ($C^0$) et ne peut être améliorée en régularité Hölderienne ($C^\alpha$), même pour des données initiales très régulières. Cette découverte a des implications importantes pour la théorie de la stabilité et la convergence des schémas numériques pour ces équations.