On the Frobenius fields of abelian varieties over number fields

1. Contexte et Problématique

Objet d'étude :
L'article s'intéresse aux champs de Frobenius associés à une variété abélienne simple $A$ définie sur un corps de nombres $K$. Pour une place $v$ de $K$ où $A$ a bonne réduction, le champ de Frobenius $F(A, v)$ est défini comme le corps de décomposition du polynôme caractéristique de l'endomorphisme de Frobenius agissant sur la représentation galoisienne $p$-adique associée à $A$.

Problème central :

• Cas CM : Si $A$ possède une multiplication complexe (CM), les champs de Frobenius sont contenus dans un corps de nombres fixe (le corps CM) et coïncident avec un sous-corps fixe pour un ensemble de places de densité de Dirichlet 1.
• Cas non-CM : La question ouverte est de déterminer la densité de l'ensemble des places $v$ pour lesquelles le champ de Frobenius $F(A, v)$ est isomorphe à un corps de nombres fixe $M$ donné, lorsque $A$ est non-CM.

Hypothèse de travail :
Les auteurs supposent que les groupes de monodromie associés à $A$ sont connexes (Hypothèse 2.2). Cette hypothèse est satisfaite pour une extension finie du corps de définition de $A$ et pour la plupart des variétés abéliennes génériques.

2. Méthodologie

L'approche combine la théorie des représentations galoisiennes, la théorie des groupes algébriques réductifs et le crible de Selberg.

A. Reformulation via les tores de Frobenius et les groupes de monodromie

Les auteurs réinterprètent le problème en termes de l'image de Frobenius dans le groupe de monodromie algébrique.

• Ils utilisent le système compatible de représentations galoisiennes $p$-adiques $\rho_{A,p}$.
• Pour une place $v$ telle que $F(A, v) \cong M$, et pour un nombre premier $p$ qui se scinde complètement dans $M$, ils démontrent que l'image de Frobenius $\rho_{A,p}(\text{Frob}_v)$ dans le groupe de monodromie modulo $p$ ($G_p(\mathbb{F}_p)$) doit se trouver dans un sous-groupe de Borel défini sur $\mathbb{F}_p$.

B. Estimations de volume dans les groupes réductifs finis

Une partie clé du papier (Section 3) consiste à estimer la « taille » (mesure de comptage normalisée) de l'union des sous-groupes de Borel dans un groupe réductif fini $G(\mathbb{F}_p)$.

• En utilisant la théorie des tores maximaux et des groupes de Weyl, ils montrent que pour un groupe non abélien, le volume de l'ensemble des éléments contenus dans un sous-groupe de Borel est strictement inférieur à 1 (plus précisément, borné par $3/4$ pour $p$ assez grand).
• Ils affinent ces résultats pour les quotients semi-simples et les revêtements universels, établissant des bornes uniformes indépendantes du premier $p$.

C. Indépendance et Théorème de Chebotarev Effectif

• Indépendance : Grâce aux résultats de Wintenberger et Hui-Larsen sur les grandes images galoisiennes, et en supposant l'indépendance des images modulo différents premiers (valable après une extension finie de $K$), ils traitent les événements « Frobenius dans un Borel » comme indépendants pour différents $p$.
• Densité qualitative : L'intersection de ces ensembles de densité $<1$ pour une infinité de premiers conduit à une densité nulle.
• Densité quantitative (sous GRH) : Pour obtenir une borne supérieure effective, ils utilisent :
  1. Le théorème de Chebotarev effectif de Lagarias-Odlyzko (sous l'hypothèse de Riemann généralisée, GRH).
  2. Le crible de Selberg pour compter les places évitant les sous-groupes de Borel pour une infinité de premiers.
  3. Des améliorations sur l'erreur du théorème de Chebotarev en utilisant la conjecture d'holomorphie d'Artin (AHC) pour les sous-groupes de Borel (qui sont supersolvables).

3. Résultats Principaux

Théorème 1.1 (Résultat Qualitatif)

Soit $A$ une variété abélienne simple non-CM sur $K$ avec des groupes de monodromie connexes. Pour tout corps de nombres $M$, l'ensemble des places $v$ telles que $F(A, v) \cong M$ a une densité de Dirichlet supérieure nulle :
$$\text{ud}(S_{A,M}) = 0$$
Cela fournit un critère pour distinguer les variétés CM des non-CM : si la densité est non nulle pour un $M$, la variété est CM.

Théorème 1.3 (Résultat Quantitatif sous GRH)

Sous l'hypothèse de Riemann généralisée (GRH), les auteurs obtiennent une borne supérieure avec gain de puissance pour le nombre de telles places de norme $\le X$.
Soit $d = \dim G_{ss}$ et $r = \text{rang}(G_{ss})$ où $G_{ss}$ est le quotient semi-simple du groupe de Mumford-Tate de $A$. Alors, pour tout $\epsilon > 0$, il existe une constante $c$ telle que :
$$|\{v \in S_{A,M} \mid N_{K/\mathbb{Q}}v \le X\}| \le c X^{1 - \frac{1}{3d - r + 2} + \epsilon}$$

Corollaire 1.4 (Cas Générique)

Si $A$ est générique (le groupe de Mumford-Tate est $GSp_{2g}$), alors $d = 2g^2 + g$ et $r = g$. La borne devient :
$$|S_{A,M}(X)| \le c X^{1 - \frac{1}{6g^2 + 2g + 2} + \epsilon}$$

4. Contributions Techniques et Innovations

1. Approche par les groupes réductifs abstraits : Contrairement aux travaux précédents (comme ceux de Bloom pour le cas générique) qui utilisaient des méthodes spécifiques, cette approche utilise la structure des groupes réductifs finis pour obtenir des bornes de volume uniformes, permettant de traiter le cas général.
2. Utilisation du quotient semi-simple : Les auteurs travaillent avec le quotient semi-simple $G_{ss}$ plutôt que le groupe de monodromie complet, réduisant ainsi la taille des groupes galoisiens pertinents et améliorant l'exposant de la borne.
3. Optimisation de l'erreur de Chebotarev : En exploitant le fait que les sous-groupes de Borel sont supersolvables, ils satisfont la conjecture d'holomorphie d'Artin (AHC), ce qui permet d'obtenir un terme d'erreur plus petit dans le théorème de Chebotarev effectif (Théorème 4.8).
4. Indépendance sans hypothèse de Mumford-Tate : La méthode ne nécessite pas la conjecture de Mumford-Tate (qui relie les groupes de monodromie $p$-adiques au groupe de Mumford-Tate sur $\mathbb{Q}$), car elle utilise des arguments de « soft analysis » basés sur la borne de Weil et la classification des groupes réductifs.

5. Signification et Perspectives

• Généralisation : Ce travail généralise des résultats connus pour les courbes elliptiques (Serre, Cojocaru, David, etc.) et les variétés abéliennes génériques (Bloom) au cas de toute variété abélienne simple non-CM (à extension de corps de base près).
• Précision : Pour le cas générique, la borne obtenue est meilleure que celle de Bloom, ne nécessitant que la GRH.
• Limites et Futur : La méthode repose sur l'hypothèse de connexité des groupes de monodromie. Les auteurs prévoient d'étudier la structure des éléments semi-simples dans les groupes réductifs finis non connexes pour lever cette hypothèse dans des travaux futurs.
• Généralisation aux corps de fonctions : L'argument qualitatif semble s'étendre aux corps de fonctions, avec une version quantitative attendue par modification appropriée.

En résumé, cet article établit que pour une variété abélienne non-CM, il est extrêmement rare (densité nulle) que le champ de Frobenius coïncide avec un corps fixe, et fournit des bornes quantitatives précises sous l'hypothèse de Riemann généralisée, en combinant ingénieusement la théorie des groupes algébriques et le crible analytique.